Мат.физика: функции Бесселя.

[Alighieri]

При решении задач по мат.физике(небольшой опыт в этом достаточно непротом деле) не особо доступно понимание в уравнениях Бесселя(а также и модифицированные уравнения Бесселя). В чем смысл и когда мы их применяем?

[Alex-Yu]

Alighieri в сообщении #686828 писал(а):

При решении задач по мат.физике(небольшой опыт в этом достаточно непротом деле) не особо доступно понимание в уравнениях Бесселя(а также и модифицированные уравнения Бесселя). В чем смысл и когда мы их применяем?

Физико-математическая модификация известного афоризма Козьмы Пруткова: "бросая камни в воду, смотри на круги ими образуемые, и ты поймешь, что такое функция Бесселя".

А вообще функции Бесселя по физическому смыслу ничем не сложнее синусов-косинусов (соответсвуют бесселевым функциям первого и второго рода), комплексной экспоненты (соответствует бесселевым функциям третьего рода, называемым также функциями Ганкеля), действительной экспоненты (соответствие -- модифицированные бесселевы функции). Все то же самое, только для цилиндрических волн.

[Munin]

(Оффтоп)

Alex-Yu
А вот почему цилиндрические функции - это те, которые повдоль, а сферические - те, которые поперёк? :-)

[zask]

Alighieri в сообщении #686828 писал(а):

При решении задач по мат.физике(небольшой опыт в этом достаточно непротом деле) не особо доступно понимание в уравнениях Бесселя(а также и модифицированные уравнения Бесселя). В чем смысл и когда мы их применяем?

Очень наглядные и интересные применения имеют Бесселя в задаче о формировании звука на примере одномерной цепочки связанных осцилляторов. У этих функций есть интересное свойство - они могут быть очень близки к нулю на протяжении произвольно большого промежутка (в зависимости от ранга), а затем, как ни в чем ни бывало, описывать этот самый (дошедший) звук.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #687240 писал(а):

Alex-Yu
А вот почему цилиндрические функции - это те, которые повдоль, а сферические - те, которые поперёк?

Видимо потому, что в цилиндрическом случае поперек все банально: синусы-косинусы.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #687281 писал(а):

Видимо потому, что в цилиндрическом случае поперек все банально: синусы-косинусы.

Не, до этого-то я допёр :-) А почему в сферическом не повдоль? А как быть с $k$-цилиндрической системой координат в $n$-мерном пространстве (в $k$-подпространстве сферические координаты, в $n-k$-подпространстве - декартовы)?

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #687296 писал(а):

Не, до этого-то я допёр А почему в сферическом не повдоль?

Не ищите черную кошку в темной комнате, причем когда той кошки нет Исторически сложилась такая терминология. Более-менее понятно почему. И все.

-- Сб фев 23, 2013 19:34:25 --

Munin в сообщении #687296 писал(а):

А как быть с $k$-цилиндрической системой координат в $n$-мерном пространстве (в $k$-подпространстве сферические координаты, в $n-k$-подпространстве - декартовы)?

Обратиться к абстрактному фурье-анализу на группах. Далее можете ввести два типа функций: "обобщенно-поперечные цилиндрические" и "обобщенно-продольные цилиндрические". Или только продольные, как Бессель. Бессель, как свободный человек, какие захотел, такие и ввел Ну не захотелось ему синусы-косинусы называть поперечноцилиндрическими Имел право не называть.

Кстати, сферические функции Бесселя тоже существуют. Но они не интересны: сводятся к синусам-косинусам.

[Bulinator]

Например есть такая задача. Найти волновые функции для следующего трехмерного Гамильтониана:

$$ \hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2}+U(r),\quad \left\{\begin{array}{c}U(r)=0,\quad r<R \\ U(r)=\infty,\quad r\geq R\end{array}\right. $$

Решение выражается через ф-ии Бесселя.