Последовательности многочленов с целыми положительными коэфф

[Ontt]

vicvolf в сообщении #686909 писал(а):

Многочлен 3-его типа целых нулей не имеет

Что очевидно.

Соответственно, если

vicvolf в сообщении #686747 писал(а):

Неприводимость многочленов над кольцом целых чисел я понимаю, как отсутствие в уравнении $P_k(n)=0$ целых корней.

, то элементарное доказательство "Утверждения 5" выглядит так: поскольку уравнение $P_k(n)=0$ не имеет целых корней, многочлен $P_k(n)$ не приводим по определению. Ч. т. д.

[vicvolf]

Ontt в сообщении #687068 писал(а):

vicvolf в сообщении #686909 писал(а):

Многочлен 3-его типа целых нулей не имеет

Что очевидно.

Нет это не очевидно. Я это как раз доказывал в утверждении 5.

[Ontt]

vicvolf в сообщении #687108 писал(а):

Нет это не очевидно.

Странно. Сумма нечетных слагаемых, кол-во которых четно, всегда четна. Сумма четных слагаемых четна. Разность четного и нечетного не равна нулю. Очевидно же.

[vicvolf]

Согласен с критикой доказательства утверждения 5. Само утверждение верное. Я действительно хочу доказать неприводимость многочлена 3-его типа над кольцом целых чисел, т.е что его нельзя представить в виде произведения многочленов с целыми коэфициентами.
Я доказал другое утверждение - об отсутствии целых нулей у многочлена 3-его, которое действительно доказывается тривиально.
Имеет ли тривиальное доказательство утверждение 5?
Думаю, что доказательство надо проводить от противного.
Так как многочлен 3-его типа принимает только нечетные значения, то если он приводим,то должен являться произведением многочленов 3-его типа, т.е принимающих только нечетные значения, так как иначе произведение многочленов не будет являться многочленом третьего типа. А дальше как, господа алгебраисты?

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #687264 писал(а):

А дальше как, господа алгебраисты?

Никак, утверждение о неприводимости попросту неверно, контрпримеров полно.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #687266 писал(а):

vicvolf в сообщении #687264 писал(а):

А дальше как, господа алгебраисты?

Никак, утверждение о неприводимости попросту неверно, контрпримеров полно.

Хотя бы один в студию

[nnosipov]

Возьмите два многочлены 3-го типа и перемножьте. Очевидно, получится снова многочлен 3-го типа. Каким он будет? Ясно, приводимым. Поэтому доказать утверждение о том, что всякий многочлен 3-го типа является неприводимым, не удастся.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #687299 писал(а):

Возьмите два многочлены 3-го типа и перемножьте. Очевидно, получится снова многочлен 3-го типа. Каким он будет? Ясно, приводимым. Поэтому доказать утверждение о том, что всякий многочлен 3-го типа является неприводимым, не удастся.

Спасибо. Как сразу не сообразил. Ведь сам об этом говорил, только наоборот.

[vicvolf]

Продолжение

Известно, если многочлен $F(x)$ представим в виде произведения двух многочленов с целыми коэффициентами $u(x),v(x)$ (приводим над кольцом целых чисел). то при любом n, таком, что $u(n)>1,v(n)>1,$ $F(n)$ является составным числом.
Учитывая это рассмотрим последовательности неприводимых многочленов над кольцом целых чисел 2-ого и 3-его типа $P_k(x)=a_kx^k+a_{k-1}x_{k-1}+...+a_1x+a_0$ с взаимнопростыми коэффициентами $(a_k,a_{k-1},...a_1,a_0)=1.$
Проанализируем плотность простых чисел в последовательности таких многочленов на любом конечном интервале [2,x).
На основании утверждения 2 и формулы (9.1) темы "Бесконечность простых чисел в последовательности" для плотности простых чисел в последовательности таких многочленов 2-ого типа $f_2(n)$ справедливо соотношение: $0<P(f_2,2,x)<1/2.$
На основании утверждения 3 и формулы (9.1) темы "Бесконечность простых чисел в последовательности" для плотности простых чисел в последовательности таких многочленов 3-ого типа $f_3(n)$ справедливо соотношение: $0<P(f_3,2,x)<1.$

Теперь мы вернемся в тему "Бесконечность простых чисел в последовательности".

Буду благодарен за замечания и предложения.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #686370 писал(а):

Утверждение 3
Последовательность многочленов принимает при изменении n только нечетные значения, если количество одночленов в многочлене с нечетными коэффициентами четно, а свободный член является нечетным числом.

Доказательство
Доказательство проводится аналогично утверждению 1, с учетом того, что свободный член является нечетным числом.

Пример неприводимого многочлена над кольцом целых чисел данного типа: $f(n)=n^2+n+1.$

Следствие
Асимптотическая плотность нечетных чисел в последовательности многочленов данного типа в натуральном ряде равна 1.
Асимптотическая плотность четных чисел в последовательности многочленов данного типа в натуральном ряде равна 0.
Доказательство вытекает из формулы (9.2) темы "Бесконечность простых чисел в последовательности".

Хочу напомнить про утверждение 3 и многочлены 3-его типа, неприводимые над кольцом целых чисел с взаимнопростыми коэффициентами. Я попытаюсь доказать бесконечность простых чисел в последовательности данных многочленов.