Задачка на деление

[KiberMath]

$n$ - любое натуральное число. Необходимо доказать, что
$n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 +1$ не делиться на $12$

Я без идей. За что зацепиться?

[PAV]

Попробуйте рассмотреть отдельно систему вычетов по модулю 3 и по модулю 4. Может быть, даже одной хватит... И уж заведомо хватит рассмотреть вычеты по 12.

[Dialectic]

PAV писал(а):

Попробуйте рассмотреть отдельно систему вычетов по модулю 3 и по модулю 4. Может быть, даже одной хватит... И уж заведомо хватит рассмотреть вычеты по 12.

Вряд ли человек знакомый с вычетами будет задавать такой элементарный вопрос...

KiberMath
Просто раскройте скобки и приведите подобные, Вы получите:

3n^2+6n+6 - если это число делится на 12 то должно найтись такое натуральное
число t, что 3n^2+6n+6=12t, но из этого следует , что n делится на два,
стало быть два первых слагаемых в левой части делятся на четыре а значит должно делится и третие слагаемое т.е. 6 должно делится на 4. Что невозможно.

[4arodej]

KiberMath писал(а):

n - любое натуральное число. Необходимо доказать, что
n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 +1 не делиться на 12

Я без идей. За что зацепиться?

Будем доказывать от противного: предположим, что n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 +1 делиться на 12. Из этого следует, что оно делиться на 3 и на 4 нацело.

После приведения подобных имеем $3n^2+6n+6=3*(n^2+2n+2)$. Значит, n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 +1 делиться на 3. Поэтому $n^2+2n+2$ должно делиться на 4 нацело. Так как $n^2+2n+2=(n+1)^2+1$ есть точный квадрат плюс единица, то $n^2+2n+2$ не может делиться на точный кдаврат -- $2^2$.

Полученное противоречие доказывает исходное предположение

[Dialectic]

Хотя Ваше доказательство и верное, оно в конечном счёте сводится
к утверждению, что уравнение 4t=x^2+1 не разрешимо в натуральных числах. Но последнее уравнение не легче самой задачи. (по крайней мере, мне не видно, как можно доказать его не разрешимость, не прибегая к способу указанному PAV или мной).

[KiberMath]

Я уже нашел способ )
Всем спасибо )