уравнение плоскости

[kis]

не обращайте внимание на линии в кубе, эта картинка из интернета - для удобства.
в кубе $A...D_1$ ребра равны $1$. Через куб проходит плоскость $AB_{1}D_{1}$. Нужно составить уравнение этой плоскости.

$A = (0, 0, 0)$
$B_1 = (1, 1, 0)$
$D_1 = (0, 1, 1)$
подставив координаты точек в уравнение плоскости, получим систему из двух уравнений:
$a + b = 0$
$b + c = 0$
не хватает еще одного уравнения(точка A в этом смысле никак не помогает).
(хотя есть программка, которая составила мне уравнение плоскости по трем точкам $A$, $B_1$, $D_1$)

Для того, чтобы в системе появилось еще одно уравнение, пробовал выбрать некую точку $M$ - середину отрезка $D_{1}B_{1}$
$M = (0.5, 1, 0.5)$

тогда в систему вошло новое уравнение:
$a + b = 0$
$b + c = 0$
$0.5a + b + 0.5c = 0$

из этой системы получается, что $a = b = c = 0$ - неправда.
что не так, и как надо решать?

p.s.
осваиваю метод координат. Набросал задачу, чтобы потренироваться, поэтому условие может быть неграмотно.

-- 19.02.2013, 06:03 --

А! надо было выбирать положение точки $M$ в другом месте, т.к. точка $M$ лежит на одной прямой с точками $D_1$, $B_1$

-- 19.02.2013, 06:12 --

попробовал выбрать точку $M = (0.5, 0.5, 0)$ на середине отрезка $AB_1$. все равно не получается почему-то.

[TOTAL]

kis в сообщении #685558 писал(а):

подставив координаты точек в уравнение плоскости

Запишите здесь уравнение плоскости.
Запишите равенства, получающиеся при подстановке в это уравнение координат каждой из трех точек.

[kis]

$\[ax + by + cz + d = 0\]$

$\[\left\{ \begin{array}{l} a + y = 0,\,\,\,{B_1} = (1,1,0)\\ b + c = 0,\,\,\,{D_1} = (0,1,1)\\ 0.5a + 0.5y = 0 \Leftrightarrow a + y = 0,\,\,\,M = (0.5,0.5,0)\\ a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 0 = 0,\,\,\,A = (0,0,0) \end{array} \right.\]$
первое и третье - одно и тоже

[TOTAL]

Выкидывайте уравнение для М, не нужно оно.
Из оставшися трех уравнений найдите коэффициенты плоскости $a, b, c, d$ и запишите здесь.

[ИСН]

В литературе этот способ получения новых уравнений известен как "Тришкин кафтан".
Ещё можно попробовать доставать деньги из кармана то правой, то левой рукой - может быть, так получится больше.

[kis]

непонятно, как найти неизвестные коэффициенты, если неизвестных три, а уравнений лишь два. (уравнение для А я не считаю, так как там все по нулям)

[TOTAL]

kis в сообщении #685593 писал(а):

непонятно, как найти неизвестные коэффициенты, если неизвестных три, а уравнений лишь два. (уравнение для А я не считаю, так как там все по нулям)

Ещё раз (последний) предлагаю записать три уравнения для трех точек.
Из этих трех уравнений найдите 4 коэффициента (входящие в уравнение плоскости).

[kis]

в системе выше я записал уравнения для двух точек Ни точка М , ни точка А не подходят. надо записать еще одно уравнение для какой нибудь точки?

[TOTAL]

kis в сообщении #685600 писал(а):

в системе выше я записал уравнения для двух точек Ни точка М , ни точка А не подходят. надо записать еще одно уравнение для какой нибудь точки?

Я не просил напомнить, что было выше и ниже. Последний раз закончился.

[kis]

а что не так в системе? там уравнения для четырех точек. Если выкинуть М - три

[ИСН]

kis в сообщении #685578 писал(а):

$\[ax + by + cz + d = 0\]$

Кто здесь неизвестные? Сколько всего неизвестных?

[ewert]

kis в сообщении #685558 писал(а):

$a + b = 0$
$b + c = 0$
не хватает еще одного уравнения(точка A в этом смысле никак не помогает).

Очень даже помогает; более того, без неё ничего и не может выйти. Как в принципе можно найти плоскость, проходящую через некоторую точку, гордо игнорируя эту точку?...

А одного уравнения и должно не хватать, т.к. уравнение плоскости заведомо неединственно. Ведь его всегда можно умножить на произвольную константу.

Кроме того, есть просто стандартная формула для получения этого уравнения (через определитель).

[arseniiv]

kis в сообщении #685578 писал(а):

$\[\left\{ \begin{array}{l} a + y = 0,\,\,\,{B_1} = (1,1,0)\\ b + c = 0,\,\,\,{D_1} = (0,1,1)\\ 0.5a + 0.5y = 0 \Leftrightarrow a + y = 0,\,\,\,M = (0.5,0.5,0)\\ a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 0 = 0,\,\,\,A = (0,0,0) \end{array} \right.\]$

Где в подставленных уравнениях $d$? (Почему в первом из них $y$? Вначале же было $b$, то самое.)

[_Ivana]

kis в сообщении #685558 писал(а):

осваиваю метод координат. Набросал задачу, чтобы потренироваться

в таком случае предлагаю вам для начала (раз испытываете такие трудности) потренироваться на кошках на плоскости - задайте пару точек (хоть в вершинах того же квадрата), запишите уравнение прямой (хоть по нормальному, хоть как вы сделали с уравнением плоскости) и найдите его. Если решите задачу на плоскости, поймете все ваши ошибки, то сабжевую задачу решите за 2 секунды