Вопрос про функцию, нужен контрпример для непрерывной

[Ktina]

Функция $f$ (видимо, имеется в виду $f:\quad\mathbb R\to \mathbb R$ - прим. ред.) такова, что

$$|x-y| = 1\to|f (x)-f (y)| = 1$$

Верно ли, что для любых $x$ и $y$ выполнено следующее равенство?

$$|f (x)-f (y)| = |x-y|$$

У меня контрпример только для разрывной:

$$f(x) = \begin{cases}0, & \lfloor {x}\rfloor\quad\text{чётна}, \\ 1, & \lfloor{x}\rfloor\quad\text{нечётна} \end{cases}$$

В самом "Кванте" нашла два других контрпримера:

$$f(x)=\lfloor {x}\rfloor$$

$$f(x)=x-2\lfloor {\frac{x}{2}}\rfloor$$

А существует ли непрерывная функция, удовлетворяющая условию задачи?

Ой, пока писала, кажется, нашла:

$$f(x)=\lfloor x\rfloor+\{x\}^2$$

Или это не то?

[ИСН]

$f(x)=x+2.35\sin2\pi x$ же, нет?

[Ktina]

ИСН в сообщении #685256 писал(а):

$f(x)=x+2.35\sin2\pi x$ же, нет?

Простите, не поняла.

-- 18.02.2013, 14:23 --

А, точно!
А как у Вас это получилось?

[ИСН]

Бдительность и многолетний опыт

[Ktina]

ИСН в сообщении #685276 писал(а):

Бдительность и многолетний опыт

А этот пример плохой?

$$f(x)=\lfloor x\rfloor+\{x\}^2$$

[ИСН]

Хороший, но описывать непрерывную функцию через две разрывные - это как-то не comme il faut.

[Sender]

Можно представить суммой двух непрерывных:

$$f(x)=x+\{x\}(\{x\}-1)$$

[Ktina]

ИСН в сообщении #685282 писал(а):

Хороший, но описывать непрерывную функцию через две разрывные - это как-то не comme il faut.

Зато по ходу получился классный пример непрерывной функции, являющейся суммой двух разрывных.

[ИСН]

Это да.

[Ktina]

Sender в сообщении #685286 писал(а):

Можно представить суммой двух непрерывных:

$$f(x)=x+\{x\}(\{x\}-1)$$

А график-то какой красивый!

(Оффтоп)

Под эту песню подходит: http://www.youtube.com/watch?v=JckGEMyYI08

[Sender]

(Оффтоп)

Мне что-то "Амурские волны" вспоминаются.

[Ktina]

Sender в сообщении #685324 писал(а):

(Оффтоп)

Мне что-то "Амурские волны" вспоминаются.

(Оффтоп)

Ещё круче

[Xaositect]

Ktina в сообщении #685287 писал(а):

Зато по ходу получился классный пример непрерывной функции, являющейся суммой двух разрывных.

Любая непрерывная функция является суммой двух разрывных.

[Ktina]

Xaositect в сообщении #685340 писал(а):

Любая непрерывная функция является суммой двух разрывных.

Почему?

[Legioner93]

Ktina в сообщении #685353 писал(а):

Xaositect в сообщении #685340 писал(а):

Любая непрерывная функция является суммой двух разрывных.

Почему?

Например так: $f(x)=g(x)+h(x)$, где $g(x)=\frac{f(x)}{2}+1$ при рациональном $x$ и $\frac{f(x)}{2}-1$ при не рациональном. Для $h(x)$ наоборот.