Помогите решить теор вер и матстат

[zhasik92]

Как найти ф.р. $ F{(x)} = E\Phi({\sqrt{\xi} x})$, если $ N/n \stackrel{d}\to \xi$, где N имеет отрицательное биномиальное распределение, а n стремится к бесконечности?

[zhasik92]

Задача целиком : пусть $N, X_1, X_2,...,X_n$ независимы. $X_1,X_2,...,X_n$ одинаково распределены с общей симметричной абсолютно непрерывной функцией распределения $F{(x)}$. $N$ целочисленная неотрицательная с.в. $N/n \stackrel{d}\to \xi$ при $n\to\infty$. $P\{\xi>0\}=1$. Пусть существуют числа $a_n>0$ такие, что $\lim_{n\to\infty} P\{X_{n/2}^{(n)}<a_nx\}=\Phi{(x)}$. Показать, что $\lim_{n\to\infty}P\{X_{[N/2]}^{(N)}<a_nx\}=E\Phi{(x \sqrt{\xi})$.
$X_{(N)}^{[N/2]}$ порядковая статистика ранга $[N/2]$ построенная по выборке случайного объема $N$.
Указание. Использовать соотношение $P\{X_k^n<x\}=P\{Z_k\ge k\}$. $Z_n$ имеет биномиальное распределение $b(n, F{(x)})$. Долее применить т. Муавра-Лапласа.
1. $F{(x)}=\Phi{(x)}$, $P\{\xi<x\}=x^{1/2}$, $0<x<1$.
2. $N$ имеет отрицательное биномиальное распределение $b(2,1/n)$, $X_1$равномерное распределение на отрезке (-1,1).
Я задачи почти решил. Вот осталось только посчитать предельные распределения в первом и втором случаях.

[zhasik92]

zhasik92 в сообщении #685159 писал(а):

Как найти ф.р. $ F{(x)} = E\Phi({\sqrt{\xi} x})$, если $ N/n \stackrel{d}\to \xi$, где N имеет отрицательное биномиальное распределение, а n стремится к бесконечности?

Подскажите пожалуйста как найти распределение $\xi$?

[--mS--]

Начнём с того, что в Вашей формулировке ничего не понятно. Что дано? Что такое пункты 1 и 2 - это дано? Это откуда-то получилось? Если это дано, то распределение $\xi$ дано, и искать его не надо. Если это откуда-то вышло, то пункту 2 пункт 1 просто противоречит.

Если дан пункт 2, то данное отрицательное биномиальное распределение (в одном из вариантов) - это распределение числа неудач до второго успеха в схеме Бернулли с вероятностью успеха $1/n$. Т.е. распределение суммы двух независимых величин $\tau_i^{(n)}$ таких, что $\mathsf P(\tau_i^{(n)}=k)=\frac{1}{n}\left(1-\frac1n\right)^k$, $k=0,\,1,\,\ldots$.

Найдите предел $\mathsf P(\tau_i^{(n)} > nx)$, потом распределение суммы двух независимых величин с предельным распределением, вот и будет распределение $\xi$.

[zhasik92]

Простите за сумбур, начну сначала.
Постановка задачи:пусть $N, X_1, X_2,...,X_n$ независимы. $X_1,X_2,...,X_n$ одинаково распределены с общей симметричной абсолютно непрерывной функцией распределения $F{(x)}$. $N$ целочисленная неотрицательная с.в. $N/n \stackrel{d}\to \xi$ при $n\to\infty$. $P\{\xi>0\}=1$. Пусть существуют числа $a_n>0$ такие, что $\lim_{n\to\infty} P\{X_{n/2}^{(n)}<a_nx\}=\Phi{(x)}$. Показать, что $\lim_{n\to\infty}P\{X_{[N/2]}^{(N)}<a_nx\}=E\Phi{(x \sqrt{\xi})$.
$X_{[N/2]}^{(N)}$ порядковая статистика ранга $[N/2]$ построенная по выборке случайного объема $N$.
Указание. Использовать соотношение $P\{X_k^{(n)}<x\}=P\{Z_k\ge k\}$. $Z_n$ имеет биномиальное распределение $b(n, F{(x)})$. Далее применить т. Муавра-Лапласа.
Методом статистического моделирования построить гистограмму величины $T_n=X_{[N/2]}^{(N)}/a_n$ и сравнить ее с плотностью предельного распределения.
В задании 2 варианта:
1. $F{(x)}=\Phi{(x)}$, $P\{\xi<x\}=x^{1/2}$, $0<x<1$.
2. $N$ имеет отрицательное биномиальное распределение $b(2,1/n)$, $X_1$ равномерное распределение на отрезке (-1,1).

[zhasik92]

Вот к чему я пришел пытаясь решить пункт 2:
$X_1,X_2,...,X_n$ н.о.р с функцией распределения $F{(x)}=(x+1)/2, -1<x<1; F{(x)}=0, x\le -1; F{(x)}=1, x\ge 1$.
$P(X_{[n/2]}^{(n)}<a_nx)=P(Z_n\ge [n/2])= P(\frac{(Z_n-np)}{\sqrt{npq}}>\frac{(n/2-np)}{\sqrt{npq}})$= по Т. Муавра-Лапласа =$\Phi{(x)}$.
$Z_n$~ $B(n,F{(x)})$, $EZ_n=np=nF{(x)}$, $DZ_n=npq=nF{(x)}(1-F{(x)})$.
=> $\frac{(n/2-nF(a_nx))}{\sqrt{n(F(a_nx)(1-F(a_nx))}}=\sqrt{n}\frac{1/2-F(a_nx)}{F(a_nx)(1-F(a_nx))}\to -x$ при $n\to \infty$, значит $\frac{1/2-nF(a_nx)}{\sqrt{F(a_nx)(1-F(a_nx))}}\to \frac{-x}{\sqrt{n}}$. Потом я нашел $a_n=1/\sqrt{n}$.
$P(X_{[N/2]}^{(N)}<a_nx)=E_{N}P(X_{[N/2]}^{(N)}<a_nx|N)=E_NP(Z_N>[N/2]|N)=E_NP(\frac{Z_N-Np}{\sqrt{Npq}}>\frac{[N/2]-NF(a_nx)}{\sqrt{NF(a_nx)(1-F(a_nx))}})=E_NP(\frac{Z_N-Np}{\sqrt{npq}}>\sqrt{N}\frac{1/2-F(a_nx)}{F(a_nx)(1-F(a_nx))}|N)=E_NP(\frac{Z_N-Np}{\sqrt{Npq}}>\sqrt{N/n}(-x)|N)=E_NP(\frac{Z_N-Np}{\sqrt{Npq}}>\sqrt{\xi}(-x)|N)=E\Phi{\sqrt{\xi}x}$
А как найти предельное распределение $E\Phi(\sqrt{\xi}x)$? Нужно построить его график. А я даже не знаю как оно выглядит. Преподаватель сказала найти характеристическую функцию для $\xi$.Нашел, $\phi_\xi(t)=\frac{1}{(n-e^{it/n}(n-1))^2}$. Что дальше?

[--mS--]

Скипну начало, там все понятно, если избавиться от опечаток и от $n$ в пределе. А вот что Вы тут делаете, непонятно совершенно:

zhasik92 в сообщении #686105 писал(а):

$P(X_{[N/2]}^{(N)}<a_nx)=\ldots =E_NP(\frac{Z_N-Np}{\sqrt{Npq}}>\sqrt{\xi}(-x)|N)=E\Phi({\sqrt{\xi}x})$

Во-первых, $N=N_n$ есть не случайная величина, а последовательность с.в., поэтому фиксируя $N$, Вы фиксируете и $n$, откуда тогда взялось нормальное распределение, могущее возникнуть лишь в пределе при $n\to\infty$?

zhasik92 в сообщении #686105 писал(а):

А как найти предельное распределение $E\Phi(\sqrt{\xi}x)$? Нужно построить его график. А я даже не знаю как оно выглядит. Преподаватель сказала найти характеристическую функцию для $\xi$.Нашел, $\phi_\xi(t)=\frac{1}{(n-e^{it/n}(n-1))^2}$. Что дальше?

Посчитать математическое ожидание любой измеримой функции от $\xi$ можно по плотности $\xi$ как

$$\mathsf Eg(\xi) = \int\limits_{\mathbb R} g(t)f_\xi(t)\,dt,$$

вот и запишите это матожидание. Можно сразу продифференцировать интеграл по $x$ и выписать плотность. А как тут поможет характеристическая функция, не знаю. Как у случайной величины $\xi$, не зависящей от $n$, получилась характеристическая функция зависящая от $n$, тоже бог весть.