Задачи по высшей алгебре

[Йцуке]

Здраствуйте. Мне дали решить к среде вот эти задачи, при этом никаких практических занятий не было вообще.
Если кто разбирается и если вам не сложно - не могли бы вы подсказать хотя бы какие свойства и теоремы нужно использовать - лекционный материал у меня есть - но как с ним сюда подступиться я не не знаю - там дикое количество материала - плюс преподаватель сказал, что эти задачи не решаются по каким- то общим алгоритмам....

1)Доказать что если (Р,+,*,0,е,>) - линейно упорядоченное поле, то для любого a и b принадлежащих Р a >0 b>0 $a*b^{-1}>0 $

2)Доказать что любое линейно упорядоченное кольцо (А,+,*>) с единицей без делителей нуля содержит подкольцо изоморфное (Z,+,*)

3) Доказать что а) уравнение $x^{2}=2*y^{2} $ имеет только нулевое решение (0,0) в кольце Z
б)уравнение 2*х=1 неразрешимо в Z

4)На множестве А=(1; + бесконечность) задано биективное отображение S: a S b тогда и только тогда когда $ \frac{a}{a^2+1} =< \frac{b}{b^2+1} $
Доказать что S отношение порядка.

5) Пусть (А,+,*,0,е,>) линейно упорядоченное кольцо с единицей. Доказать что для любого натурального n $(e+a)^n >= e+ n*a$ где е - единица кольца.

Буду благодарен за любую помощь.

[neo66]

1)Прямо вытекает из определения линейно упорядоченного поля.
2)Во-первых, условие отсутствия делителей нуля избыточное, поскольку любое линейно упорядоченное кольцо не имеет делителей нуля.
Докажите, что подкольцо, порождаемое единицей и есть нужное подкольцо.
3)а)Классическое школьное доказательство иррациональности числа $\sqrt{2}$.
б)тривиально.
4)Проверьте, что функция $y=\frac{x}{x^2+1}$ монотонно убывает на интервале $(1,+\infty)$.
5)Наверное имеется в виду, что $a>0$, потому, что в общем случае утверждение неверно.
Если $a>0$, то просто раскрыть скобки по формуле бинома Ньютона.

[Йцуке]

Огромное спасибо!!!!
Если вам будет не сложно подскажи те ещё вот с этой задачей из той же темы:

Доказать что если (Р,+,*,0,е,>) - линейно упорядоченное поле, то для любого a и b принадлежащих Р т. к. a>b
следует что $a>(a+b)(2*e)^{-1}$