Кольца-Поля

[devgen]

1. Нужно доказать, что для любого кольца А верны свойства:

$\forall a\in A$ $\exists!(-a)\in A$
$(-1)a=(-a)$

Первое:
Пусть существуют два противоположных элемента $(-a_1)$ и $(-a_2)$
$a+(-a_1)+(-a_2)=0+(-a_2)=(-a_2)$
$a+(-a_1)+(-a_2)=0+(-a_1)=(-a_1)$
$\Rightarrow (-a_1)=(-a_2)$

Второе:
$0=1+(-1)=a(1+(-1))=a+(-1)a$
$0=a+(-a)$
$\Rightarrow (-1)a=(-a)$

2. Бывает ли такое кольцо, что над ним кольцо многочленов поле? Тут я не очень понял, видимо, что же такое кольцо многочленов.

3. Почему требуется, чтобы для 0 не было обратного элемента?
Например, почему 0 и 1 не должны совпадать понятно:
$a+0=a$
$a\cdot 0 = a$
$a+(-a)=0$
$a\cdot (a+(-a))=a\cdot a+a\cdot (-a)=a\cdot a(1+(-1))= a\cdot a$

А для этого построить противоречия не получилось

[Joker_vD]

devgen в сообщении #683386 писал(а):

Бывает ли такое кольцо, что над ним кольцо многочленов поле?

Нет, не бывает: у многочлена $x$ обратного быть ну никак не может.

devgen в сообщении #683386 писал(а):

3. Почему требуется, чтобы для 0 не было обратного элемента?

$0\cdot a=0$ для любого $a$, получить $1$ никак не выйдет.

[devgen]

Свойства выведены верно?

2. А какой элемент единичный? $a_0$?

3. Спасибо

[Joker_vD]

devgen в сообщении #683433 писал(а):

Свойства выведены верно?

Первое доказательство можно чуть элегантнее: $(-a_1)+a+(-a_2)=\dots$, но все верно.

devgen в сообщении #683433 писал(а):

2. А какой элемент единичный?

$1$. Она же многочлен $1\cdot x^0$.

[Mathusic]

devgen
Ну первое конечно вы читерно сделали
Это нам просто повезло, так сказать, что сложение в кольце коммутативно.
Фактически же надо просто доказать единственность нейтрального в группе.

[Nameless_2013]

devgen в сообщении #683386 писал(а):

Бывает ли такое кольцо, что над ним кольцо многочленов поле? Тут я не очень понял, видимо, что же такое кольцо многочленов.

Самое хорошее - целостное кольцо.

[devgen]

Почему оно самое хорошее? Из целостности не следует существование обратного элемента. Простой пример: поле целых чисел с "обычными" сложением и умножением. Буду рад, если кто-нибудь в общем покажет/подскажет как показать, что не следует.

Joker_vD
Да, я согласен, но лектор очень убедительно задавал вопрос и на ответы "нет" из аудитории призывал подумать. К сожалению, смотрю их в записи НМУ 2011 год Смирнов Алгебра-1, Лекция 1 http://ium.mccme.ru/IUM-video.html
Поэтому есть сомнения

А "1" в любом кольце нейтральный элемент для умножения? Для кольца вычетов верно, для функций тоже. А больше я пока не знаю. Я имею ввиду, что в кольце вычетов по модулю m, нейтральный элемент для сложения будет m. А для умножения опять 1 вроде.

Mathusic
Можно только с помощью транзитивности?

[Joker_vD]

devgen в сообщении #683661 писал(а):

А "1" в любом кольце нейтральный элемент для умножения?

Э, ну так а что вообще называют единичным элементом? Именно нейтральный по умножению элемент.

devgen в сообщении #683661 писал(а):

лектор очень убедительно задавал вопрос и на ответы "нет" из аудитории призывал подумать.

Ну... ну не знаю. Но вот пусть есть кольцо многочленов $R[x]$, пусть обратным к $x$ будет $a_0+a_1x+\dots+a_nx^n$. Тогда $1=x(a_0+a_1x+\dots+a_nx^n)=a_0x+a_1x^2+\dots+a_nx^{n+1}$ — откуда $1=0$, но в поле такого не бывает.

[JMH]

Joker_vD в сообщении #683666 писал(а):

devgen в сообщении #683661 писал(а):

А "1" в любом кольце нейтральный элемент для умножения?

Э, ну так а что вообще называют единичным элементом? Именно нейтральный по умножению элемент.

Здесь возможна путанница в теминологии. Дело в том, что левой (соотв. правой) единицей называется такой элемент $u$ кольца $R$, что $\exists{v}\in R:uv=1$ (соотв. $vu=1$). В английском эта путанница отсутствует: нейтральный элемент мультипликативной группы называется identity, а то, что определено выше - unit. А русском единица и единица...

[Joker_vD]

Ох я бы тому, кто первый перевел unit как "единица" вместо "обратимый", оборвал кой-чего. И это, JMH, я ведь тоже знаю об этом термине — потому и написал "единичным элементом", а не просто "единицей".

[Nameless_2013]

devgen в сообщении #683661 писал(а):

поле целых чисел

Они не образуют поле.

[devgen]

Я имел ввиду кольцо, конечно же