Дисперсия

[user208]

Как расчитать дисперсию, если среди исходов есть случайные величины?

[Евгений Машеров]

То есть для некоторых исходов известны не их значения, а их матожидания и дисперсии?
Переходите от центральных к начальным моментам, затем получаете начальные моменты для искомой величины (как взвешенную сумму начальных моментов по исходам), затем возвращаетесь к центральным. Аналогично и для моментов порядка выше двух.

[Александрович]

user208 в сообщении #682586 писал(а):

Как расчитать дисперсию, если среди исходов есть случайные величины?

A ещё какие есть?

[--mS--]

Евгений Машеров в сообщении #683242 писал(а):

Переходите от центральных к начальным моментам, затем получаете начальные моменты для искомой величины (как взвешенную сумму начальных моментов по исходам)

Если и только если вероятности "исходов" разыгрываются независимо от их значений.

user208 в сообщении #682586 писал(а):

Как расчитать дисперсию, если среди исходов есть случайные величины?

Подробнее опишите ситуацию.

[Евгений Машеров]

Автор темы, вероятно, подразумевает "многоступенчатые случайные исходы", когда, скажем, с известными вероятностями случайная величина оказывается равной одной из нескольких случайных величин с различными параметрами.
Что-то в духе: бурим нефтяную скважину, с вероятностью $p_1$ ничего не находим, убыток M, с вероятностью $p_2$ находим нефть, доход заранее неизвестен, но можно его рассматривать, как нормально распределённую величину с известными матожиданием и дисперсией, с вероятностью $p_3$ находим газ, аналогично доход заранее неизвестен, с вероятностью $p_4$ воду, аналогично, с вероятностью $p_5$ не находим ничего ценного, но скважину покупают за сумму K разведчики-геофизики и т.п.

-- 13 фев 2013, 11:37 --

--mS--

Ну, тут довольно естественное предположение, что сперва разыгрывается "исход", а потом получается связанная с ним случайная величина. Если сначала получается случайная величина, а потом из ней получается "исход", то такой подход не работает, тут нужны условные распределения.

[user208]

Цитата:

То есть для некоторых исходов известны не их значения, а их матожидания и дисперсии?

Да. Я для этого видел формулу в своё время. Сейчас не могу её найти, потому что не знаю как называется такая ситуация.

[Евгений Машеров]

Ну, вот примерно такая модель "парных испытаний":
Сперва проводится испытание, результатом которого является один из n исходов с вероятностью $p_i$
Затем искомая случайная величина z принимается равной значению случайной величины x, полученной во втором испытании, причём если выпал исход i, распределение принимается $F_i(x)$ (вообще говоря, распределение может быть вырожденным, и это константа).
Эта величина не зависит от исходов предыдущих испытаний (как "первых", так и "вторых"), соответственно вероятности в "первом" испытании не зависят от исходов предыдущих.
Тогда начальные моменты k- того порядка $M^k(z)$ распределения z есть, очевидно, взвешенная сумма начальных моментов соответствующего порядка распределений $x_i$
$M^k(z)=\Sigma p_i M^k_i(x)$
Начальный момент первого порядка есть матожидание, начальный момент второго порядка равен сумме дисперсии и квадрата матожидания. Аналогично можно получить моменты высшего порядка и из них оценки асимметрии, эксцесса и т.п.

[user208]

Спасибо, можете написать формулу конкретно для итоговой дисперсии?

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Тiточку, дайте води напитися, бо так їсти хочеться, аж переночувати нiди!
(Тётя, дайте воды напиться, потому что так есть хочется, даже переночевать негде!)

-- 14 фев 2013, 11:51 --

А если серьёзно - кажется, правилами оказывать помощь до такой степени разжёвывания прямо запрещается.

[user208]

Евгений Машеров в сообщении #683751 писал(а):

(Оффтоп)

Тiточку, дайте води напитися, бо так їсти хочеться, аж переночувати нiди!
(Тётя, дайте воды напиться, потому что так есть хочется, даже переночевать негде!)

-- 14 фев 2013, 11:51 --

А если серьёзно - кажется, правилами оказывать помощь до такой степени разжёвывания прямо запрещается.

Спасибо, но я не всё понял.
Допустим генерируется число с равными вероятностями от одного до $n$. Каждому числу соответствует исход $a_i$ + $x_i$
$a_i$ - константы. Для $x_i$ известны дисперсия и матожидание. Какая формула позволит посчитать итоговую дисперсию?

[Евгений Машеров]

Ну, пускай матожидания и дисперсии равны $\mu_i$ и $\sigma^2_i$
Тогда Ваши величины с вероятностью 1/n являются случайными с матожиданиями и дисперсиями $b_i=a_i + \mu_i$ и $\sigma^2_i$
Матожидания их квадратов равны $M_i=b_i^2+\sigma^2_i$
Соответственно, матожидание квадрата искомой величины будет $M=\frac {\Sigma M_i} n$, а матожидание самой её $E=\frac {\Sigma b_i} n$
Дисперсия получится вычитанием из матожидания квадрата квадрата матожидания
$\sigma^2=M-E^2$