Геометрическое построение на реальном листе

[arseniiv]

На листе бумаги построен четырёхугольник $ABCD$, довольно близкий к квадратности. Делаем такие вещи:
\begin{array}{l} N := AB \cap CD, \\ N' := BC \cap AD, \\ M_{AC} := AC \cap NN', \\ K_{AC,B,A} := M_{AC}B \cap AD, \\ K_{AC,B,C} := M_{AC}B \cap CD, \end{array}
дальше подобным образом надо построить ещё точки $K_{AC,D,A}$, $K_{AC,D,C}$, $K_{BD,A,B}$, $K_{BD,A,D}$, $K_{BD,C,B}$, $K_{BD,C,D}$.

Вот чертёж для $K_{AC,B,A}$:

\definecolor{ffqqqq}{rgb}{1,0,0} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm] \clip(-5.48,-1.1) rectangle (6.16,8.62); \draw [color=ffqqqq] (-4.64,8.29)-- (5.91,2.55); \draw (-5.18,-0.33)-- (2.13,4.96); \draw (2.12,5.15)-- (-0.83,0.85); \draw (-5.09,-0.12)-- (5.98,3.1); \draw (5.88,2.92)-- (-5.22,2.36); \draw (-3.68,8.09)-- (2.55,-0.21); \draw (-3.5,8.1)-- (0.25,-0.82); \begin{scriptsize} \fill [color=black] (-0.6,1.18) circle (1.5pt); \draw[color=black] (-0.32,1.1) node {$A$}; \fill [color=black] (-1.18,2.56) circle (1.5pt); \draw[color=black] (-1.5,2.78) node {$B$}; \fill [color=black] (0.4,2.64) circle (1.5pt); \draw[color=black] (0.74,2.84) node {$C$}; \fill [color=black] (1.12,1.68) circle (1.5pt); \draw[color=black] (1.1,1.46) node {$D$}; \fill [color=black] (-3.27,7.54) circle (1.5pt); \draw[color=black] (-3.12,7.76) node {$N$}; \fill [color=black] (5.28,2.89) circle (1.5pt); \draw[color=black] (5.3,3.18) node {$N'$}; \fill [color=black] (1.85,4.76) circle (1.5pt); \draw[color=black] (1.6,5.02) node {$M_{AC}$}; \fill [color=black] (-4.75,-0.02) circle (1.5pt); \draw[color=black] (-4.22,-0.22) node {$K_{AC,B,A}$}; \end{scriptsize} \end{tikzpicture}

Как построить все $K_\cdots$, если $N$ и $N'$ оказываются далеко вне листа? При почти квадратности $ABCD$ это обязательно случится.

[gris]

>modify>sheet properties>dimensions>width>нужное значение>OK
>modify>sheet properties>dimensions>hight>нужное значение>OK

[Xaositect]

Вся конструкция аффинная, несложно посчитать чему будет равна координата этой точки, скажем, в системе $\vec{e}_1 = AD$, $\vec{e}_2 = AB$. А дальше геометрическая интерпретация полученного результата.

[arseniiv]

О, о таком я не подумал… Спасибо!

(И спасибо Mathematica за решение уравнений.)

$\begin{array}{rcl} C & = & \left(a, b\right), \\ K_{AC,B,A} & = & \left(-\dfrac{a}{a+2b-2},0\right), \\ K_{AC,B,C} & = & \left(-\dfrac{a}{a-2},-\dfrac{2b}{a-2}\right), \\ K_{AC,D,A} & = & \left(0,-\dfrac{b}{2a+b-2}\right), \\ K_{AC,D,C} & = & \left(-\dfrac{2a}{b-2},-\dfrac{b}{b-2}\right), \\ K_{BD,A,B} & = & \left(-\dfrac{a}{2b-1},\dfrac{b}{2b-1}\right), \\ K_{BD,A,D} & = & \left(\dfrac{a}{2a-1},-\dfrac{b}{2a-1}\right), \\ K_{BD,C,B} & = & \left(0,-\dfrac{2b}{a-b-1}\right), \\ K_{BD,C,D} & = & \left(\dfrac{2a}{a-b+1},0\right). \end{array}$

Хорошо, рисуем параллелограммчик, получая на $AB$ и $AD$ точки $Y$ и $X$; точка с координатами $(x, y)$ строится как $A + x\overrightarrow{AX} + y\overrightarrow{AY}$.

Или с последним можно как-то упростить… (Хорошо хоть, что достаточно построить четыре точки из восьми!)

-- Ср фев 13, 2013 02:07:38 --

(Громоздкие построения получаются с этими дробями. Неудивительно, что глядя на чертёж, я ни малейшего духа их не смог найти. )

-- Ср фев 13, 2013 02:08:46 --

Кстати, наверное, смотревшие тему уже догадались, зачем я задал вопрос о таком построении?