Определение последовательности

[Nameless_2013]

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #682729 писал(а):

готов изо всех сил помогать вам просто так, из любви к искусству

Благодарю Вас. Сейчас мне нужно построить множества натуральных, целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел, не используя понятия общей алгебры (можно использовать понятие "множество", "отношение", "отображение", "бинарная операция" и всё, что непосредственно с ними связано) и анализа (нельзя использовать понятие предела последовательности, например). С натуральными числами, в общем-то, всё ясно. Целые числа строятся как классы эквивалентности (рациональные - аналогично). Вещественные придётся вводить как бесконечные десятичные дроби (самое сложное для меня). Комплексные - самое простое: пары вещественных чисел плюс две операции, через которые определяем ещё две, вводим мнимую единицу и приходит к алгебраической форме.

[Xaositect]

(Оффтоп)

А не могли бы Вы пояснить, почему такие ограничения и в чем конечная цель? Можно ведь строить числовые системы параллельно с изучением общей алгебры, напр. сразу после построения рациональных чисел обобщить эту конструкцию и ввести понятие поля частных целостного кольца? А по поводу действительных чисел - если Вы это делаете для себя, то можно рассмотреть все три обычных конструкции (по Дедекинду, по Коши и через бесконечные дроби). На мой личный взгляд, построение действительных чисел слишком "низкоуровневое", оно скрывает то, что мы, собственно, хотим построить. И опять же, для того, чтобы понять, что мы хотим построить, неплохо бы параллельно рассматривать понятия предела(вместе с конструкцией Коши) или супремума(вместе с кончтрукцией Дедекинда)

[ewert]

Nameless_2013 в сообщении #683009 писал(а):

(нельзя использовать понятие предела последовательности, например)

Вещественные числа ввести без понятия предела практически невозможно. Поскольку если говорить по существу, то вещественные числа суть не что иное, как все возможные пределы последовательностей рациональных чисел. Всё остальное -- это различные словесные бантики.

Nameless_2013 в сообщении #683009 писал(а):

Вещественные придётся вводить как бесконечные десятичные дроби (самое сложное для меня).

Вот именно потому и сложное, что Вы не понимаете, зачем, собственно, вообще нужны вещественные числа. Бесконечные десятичные дроби -- это лишь очень частный способ представления вещественного числа как предела рациональных; наиболее наглядный, но и наименее удобный с теоретической точки зрения.

[Nameless_2013]

ewert в сообщении #683090 писал(а):

Вещественные числа ввести без понятия предела практически невозможно.

Но ведь и понятие предела без понятия вещественного числа тоже ввести невозможно? Замкнутый круг. Или я неправ?

[Xaositect]

Nameless_2013 в сообщении #683100 писал(а):

Но ведь и понятие предела без понятия вещественного числа тоже ввести невозможно? Замкнутый круг. Или я неправ?

Понятие предела топологическое, оно определяется безотносительно конкретного пространства.

[Nameless_2013]

Xaositect в сообщении #683119 писал(а):

Понятие предела топологическое, оно определяется безотносительно конкретного пространства.

Слышал об этом. Но я говорил об "обычных" учебниках математического анализа, где вообще нет ни слова о топологии.

-- 12.02.2013, 23:12 --

(Оффтоп)

Правда, всё это - оффтопик. Лучше переместиться в тему про числовые системы.

[Xaositect]

Nameless_2013 в сообщении #683122 писал(а):

Слышал об этом. Но я говорил об "обычных" учебниках математического анализа, где вообще нет ни слова о топологии.

Ну если даже не говорить о топологии, то никто не мешает взять обычное определение предела и сказать, что все числа должны быть рациональны. Проблема начнется только тогда, когда обнаружится неполнота множества рациональных чисел - не будет эквивалентности между фундаментальными и сходящимися последовательностями, возрастающие последовательности не будут сходиться и т.п. Именно для того, чтобы это исправить, переходят к действительным числам. Собственно, как ewert уже упоминал, содержательный смысл построения действительных чисел по Коши состоит именно в том, что действительные числа - это пределы рациональных последовательностей.

[Nameless_2013]

Xaositect, тогда не понятно, почему вещественные числа в курсах анализа рассматриваются до введения понятия предела последовательности.

[ewert]

Nameless_2013 в сообщении #683122 писал(а):

Но я говорил об "обычных" учебниках математического анализа, где вообще нет ни слова о топологии.

Но есть, однако же, понятие расстояния. Применительно к рациональным числам это банально модуль разности, и этого вполне достаточно, чтобы ввести далее понятия сходимости, фундаментальности и далее вплоть до пополнения.

А вот безо всех тех понятий -- совершенно никак. Ещё раз: причины необходимости введения вещественных чисел ни в коем случае не являются алгебраическими (как то имеет место быть для остальных элементов той сакраментальной цепочки); они -- сугубо топологические. Можно не обзывать чёрта по имени и не произносить слова "топология" явно, но суть дела от этого ровно ни разу не изменится.

И самое главное -- это вовсе не абстрактные какие-то изыски. Это вполне практичная вещь. Применительно к практике мы никогда не можем решить любую мало-мальски содержательную задачку, оставаясь в рамках рациональных чисел. Просто потому, что эти числа дискретны, объективный же мир заведомо как минимум континуален. И вещественные числа -- простейший способ формализации приближения к реальности со сколь угодно (по мере необходимости) высокой точностью. А это и сводится к понятию предела.

[Nameless_2013]

Xaositect в сообщении #683124 писал(а):

никто не мешает взять обычное определение предела и сказать, что все числа должны быть рациональны. Проблема начнется только тогда, когда обнаружится неполнота множества рациональных чисел - не будет эквивалентности между фундаментальными и сходящимися последовательностями, возрастающие последовательности не будут сходиться и т.п. Именно для того, чтобы это исправить, переходят к действительным числам.

Интересная идея. Жаль, что я не видел учебников по математическому анализу, где она была бы реализована.

[ewert]

Тут чисто методическая проблема. Для наиболее идейной (канторовой) реализации такого подхода необходимо понятие факторизации. А оно -- весьма абстрактно (хотя само по себе и просто), между тем понятие вещественного числа необходимо уже в самом начале курса. Поэтому такой подход в учебниках и не используют -- он просто выглядит мало уместным.

Почитайте весьма неплохой обзор различных определений в Математической энциклопедии (т.2, статья "Действительное число", колонки 65-70):

http://www.newlibrary.ru/book/avtor_neizvesten/matematicheskaja_yenciklopedija__dalambera_operator_-_kooperativnaja_i.html

[Ktina]

Nameless_2013 в сообщении #682605 писал(а):

Верно ли такое определение?

А разве определение может быть неверным?