Определение последовательности

[Nameless_2013]

Пусть: 1) $X$ - непустое множество;
2) $f: \mathbb{N} \to X$ - некоторое отображение.
Последовательностью элементов множества $X$ называется образ множества натуральных чисел при отображении $f: \mathbb{N} \to X$.

Кратко: $\{x_n \}=f(\mathbb{N})$.

Верно ли такое определение?

[AKM]

Тема!
перемещена!
из форума «Математика (общие вопросы)»!
в форум «Помогите решить / разобраться (М)»!!!

[arseniiv]

Последовательность — это та функция $f\colon\mathbb N\to X$ и есть.

[ewert]

Nameless_2013 в сообщении #682605 писал(а):

Последовательностью элементов множества $X$ называется образ множества натуральных чисел при отображении $f: \mathbb{N} \to X$.

Кратко: $\{x_n \}=f(\mathbb{N})$.

Верно ли такое определение?

Нет, неверно. Последовательностью называется не образ отображения, а само отображение. Хотя для краткости очень часто последовательность обозначают именно как $\{x_n \}$ -- но именно для краткости, подразумевая при этом, что всем присутствующим ежам понятно, что таится за этим (формально некорректным) вульгаризмом.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Nameless_2013, занимаетесь самообразованием? Ну не может студент задавать такой вопрос в феврале ;-)

[Nameless_2013]

Понятно. Я сначала тоже думал, что последовательность - это именно та самая функция, но были сомнения. Но ведь $n$-й элемент последовательности является образом натурального числа $n$ при данном отображении?

-- 12.02.2013, 00:57 --

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #682700 писал(а):

Nameless_2013, занимаетесь самообразованием? Ну не может студент задавать такой вопрос в феврале

Aritaborian, в тех краях, где я обитаю, самообразование - единственная возможность получить образование. Хотя формально я числюсь в некотором "учебном" заведении.

[Aritaborian]

Nameless_2013, поведайте форумчанам вашу скорбную историю.

(Оффтоп)

Я говорю это без сарказма и иронии. Everyone here готов изо всех сил помогать вам просто так, из любви к искусству. Но прежде расскажите, какая у вас подготовка, где вы учились, что знаете, а чего не знаете.

[bot]

Nameless_2013 в сообщении #682714 писал(а):

Но ведь n-й элемент последовательности является образом

Здесь ровно тот же вульгаризм, что и с функцией: $f(x)$ - это образ элемента $x$ при отображении $f$.

[arseniiv]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #682683 писал(а):

Хотя для краткости очень часто последовательность обозначают именно как $\{x_n \}$ -- но именно для краткости, подразумевая при этом, что всем присутствующим ежам понятно, что таится за этим (формально некорректным) вульгаризмом.

Мне казалось, её обозначают для краткости $(x_n)$ — получается «совместимость» с конечными кортежами: они обозначаются с круглыми скобками и упорядочены — и последовательность с такими же скобками тоже упорядочена.

Точнее, видится, для краткости её обозначают $(x_n)_{n=1}^\infty$, но это получается сильно длиннее $x$ и эту запись сокращают до $(x_n)$, оставляя «полную» для хвостов и конечных кусочков. Не так?

[Aritaborian]

arseniiv в сообщении #682887 писал(а):

Мне казалось, её обозначают для краткости $(x_n)$

Именно. А фигурные скобки обозначают множество элементов последовательности.

[Nameless_2013]

Aritaborian в сообщении #682915 писал(а):

Именно. А фигурные скобки обозначают множество элементов последовательности.

Зорич (и не только он) использует фигурные скобки.

[Aritaborian]

Да? Надо бы посмотреть. Но ведь тогда возникает путаница между последовательностью и множеством её элементов...

[ewert]

Формально запись $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ означает всего лишь множество элементов последовательности, и именно неупорядоченное. Однако никто не в силах запретить нам специально для этого случая понимать под таким обозначением не множество, а саму последовательность, и потом при желании сокращать его до $\{x_n\}$, принимая тем самым пределы по умолчанию. Основанием для такой договорённости является хотя бы то, что с формальной точки зрения интерпретация записи $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ как множества не вполне корректна -- среди элементов могут оказаться совпадающие. А тогда почему бы и не условиться обозначать так именно последовательность.

-- Вт фев 12, 2013 17:21:53 --

Aritaborian в сообщении #682930 писал(а):

Но ведь тогда возникает путаница между последовательностью и множеством её элементов...

Это вряд ли. Необходимость рассматривать именно множество элементов последовательности возникает довольно редко. И если уж возникает, то лучше во избежание недоразумений придумать для него какое-то специальное обозначение вместо универсального.

Вообще излишний формализм в обозначениях вреден. Скажем, в приличном обществе принято обозначать подпоследовательность как $x_{n_k}$ (уж неважно в каких скобках) и ни в коем случае не оговаривать при этом монотонность $n_k$, хотя формально без такой оговорки запись и некорректна.

[arseniiv]

ewert в сообщении #682934 писал(а):

Основанием для такой договорённости является хотя бы то, что с формальной точки зрения интерпретация записи $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ как множества не вполне корректна -- среди элементов могут оказаться совпадающие.

Шаткое основание: можно же писать $\{a,b,b,c\}$, получится то же, что и $\{a,b,c\}$. Ведь такие записи конечной длины определяются как $x\in\{a_1,\ldots,a_n\} :\Leftrightarrow x=a_1 \vee\ldots\vee x=a_n$, а справа ничто не мешает в дизъюнкции стоять хоть всем $x=a_i$ одинаковым. Вообще, мы можем не знать, различны ли $a_i$ — потому запись с повторениями, по-моему, совершенно естественна.

ewert в сообщении #682934 писал(а):

Однако никто не в силах запретить

Да, это увы.

ewert в сообщении #682934 писал(а):

Скажем, в приличном обществе принято обозначать подпоследовательность как $x_{n_k}$ (уж неважно в каких скобках) и ни в коем случае не оговаривать при этом монотонность $n_k$, хотя формально без такой оговорки запись и некорректна.

Кстати, а тут беда небольшая — стоит только быстренько перед работой всего один раз за лекцию, статью или книгу ввести экстра-короткое обозначение $n\colon\nearrow$ для монотонно возрастающей последовательности натуральных чисел — и всё! Может, кто-то его и позаимствует…

[nikvic]

bot в сообщении #682737 писал(а):

Здесь ровно тот же вульгаризм, что и с функцией: $f(x)$ - это образ элемента $x$ при отображении $f$.

Так, если аргумент фиксирован - и это обычно запрятано в контексте. Иначе - терм с его переменной.
Более общо - обозначение или термин в математическом сленге почти всегда зависит от контекста.