Нужно показать полноту пространства Соболева

с нормой

.
Док-во:
Пусть

фундаментальная последовательность, т.е.

.
Ввиду

, имеем для каждого мультииндекса

:

.
Таким образом, последовательность

фундаментальна, а значит в силу полноты

сходится к какому-то

:

.
Так как для каждого

члены последовательности

являются слабыми производными для

, то имеем для всех пробных функций

:

. Так как

всюду плотно в

, то это равенство выполняется и для всех

. Другими словами, левая часть этого равенства представляет собой функционал

на

, который непрерывно продолжается до функционала на

; равенство, которое есть не что иное как теорема Рисса, при этом переходе сохраняется в силу непрерывности скалярного произведения в

.
Отсюда получаем, при помощи неравенства Гёльдера (или результата в
topic68253.html), что

интегрируема. По той же причине интегрируема и

. След-но,

, и

.
Так что теперь имеем:

.
Значит

действительно есть слабая производная для

и

(по норме

).
Наконец,

, так что имеем сходимость по норме

.
Док-во окончено.
Теперь вопрос:
Нельзя ли сократить док-во, пользуясь тем, что функционал

ограничен и значит непрерывен, и тем, что двойственное пространство к

есть само

? Ведь определяющее слабую производную равенство симметрично относительно

и

!