Интересный предел

[ИСН]

О собственных значениях и нормальных формах когда-нибудь слышали?

[Ward]

Уважаемый ИСН
Собственные значения я нашел.
Они равны $\lambda_{1,2}=\frac{1}{2}+i(1\pm \frac{\sqrt{3}}{2})$
Я прочитал в интернете и сказано, что матрицу нужно привести к жордановой нормальной форме. Но как ее привести я не знаю.

[ИСН]

Ну так прочитайте теперь об этом где-нибудь. В сущности, что нужно сделать? Перейти к какому-то другому базису. К какому? А такому, который составлен из собственных векторов. Тут могут быть какие-то хитрости с вырождением, но не в данном случае. Векторов два. Найдите их. Найдите матрицы, которые переводят туда и обратно.

[Ward]

Собственные векторы у меня получились такие:

$$v_1=\left(\frac{i}{2}-(2+i)+\sqrt{3},1\right), v_2=\left(-\frac{i}{2}(2+i)+\sqrt{3},1\right)$$

А как найти матрицы?

[ИСН]

Одна составлена из этих векторов, другая - обратная к ней.

-- Вс, 2013-02-10, 22:26 --

Арифметику не проверял.

[Ward]

ИСН
У меня вот так получилось:
$A=\begin{pmatrix} \frac{i}{2}-(2+i)+\sqrt{3} & 1 \\ -\frac{i}{2}(2+i)+\sqrt{3} & 1 \end{pmatrix}$

$A^{-1}=\left(\frac{5+i}{26}\right)\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ (1-2i)+2\sqrt{3} & (4+i)-2\sqrt{3} \end{pmatrix}$

-- 10.02.2013, 23:00 --

ИСН
Т.е. для того, чтобы привести наша матрицу $A$ к жордановой форме нужно:
1) найти собственные числа и соответствующие им собственные вектора.
2) Составить матрицу $S$ из собственных векторов и найти обратную ей $S^{-1}$
3) Написать матрицу $J$ диагональную, где на диагоналях стоят собственные числа.

Получаем, что $A=SJS^{-1}$, тогда $A^n=SJ^nS^{-1}$
верно?

[ИСН]

Ward в сообщении #682295 писал(а):

Получаем, что $A=SJS^{-1}$

Вот это место я не помню (то ли так, то ли наоборот), и каждый раз проверяю руками.
Общая идея, да, такая.