Ну хорошо. Если говорить о напрашивающихся чисто геометрических соображениях, то они дают вот что (ТС это уже отмечал с самого начала). Если задачка корректна, то площадь

должна зависеть только от радиуса

, но не от наклона правой стороны

. Тогда это же верно и для площади левого треугольничка

, т.е. точка пересечения диагоналей

, независимо от наклона правой касательной, должна находиться на вертикальном отрезке

, где

и

-- это верхняя и нижняя точки касания. Или, что эквивалентно: если точка пересечения диагоналей лежит на этом вертикальном отрезке, то правая сторона

действительно касается окружности.
Эти соображения действительно достаточно очевидны и достаточно напрашиваются. Раздражает то, что для последнего утверждения, носящего чисто геометрический характер, как-то не просматривается столь же геометрического по характеру доказательства; в любом случае требуется какая-то возня с формулами.
Самый элементарный и требующий минимума изобретательности способ из тех, что мне приходили в голову, выглядит так. Пусть

и

-- расстояния от правых вершин до соответствующих точек касания. Нетрудно заметить: если правая сторона касается окружности, то треугольник

, где

-- центр окружности, -- прямоугольный и, следовательно,

. Ясно также, что последнее равенство является
критерием касательности, т.е. что доказать достаточно следующее утверждение: если

, то

.
Первое, что напрашивается -- воспользоваться подобием треугольников

и

с одной стороны и треугольников

и

с другой. Положение точки

на вертикальном отрезке

определяется, например, расстоянием

; остаётся лишь выразить

и

через

, после чего перемножить. Это уже дело техники:



Всё равно какое-то занудство. Непонятно, по каким
принципиальным причинам всё так удачно сокращается.