Бесконечность простых чисел в последовательности

[vicvolf]

В теме "Плотность числовой последовательности" я писал:

vicvolf в сообщении #656637 писал(а):

Интересен также другой подход к понятию плотности одной последовательности в другой последовательности, как доли членов одной последовательности в другой последовательности. Такой подход даст возможность решить другой класс задач. Например, определить - содержится ли в последовательности $n^2+1$ бесконечное число простых чисел и даже установить существование бесконечного числа простых чисел в последовательности, заданной многочленом n-ой степени с целыми коэффициентами!

Ну, если обещал, то надо выполнять! Получился интересный результат Удалось доказать, бесконечность количества простых чисел в последовательности для достаточно общего случая. Наберитесь немного терпения, работа небольшая.

Будем рассматривать только целочисленные, положительные последовательности.
Пусть для некоторой такой последовательности $f(n)$ на концах интервала выполняется: $a=f(A),b=f(B)$. Обозначим количество чисел в последовательности $f(n)$ на интервале [$A,B$) - $\pi(f,A,B)$.
Тогда рассмотрим плотность, как долю членов последовательности $f(n)$ в последовательности натурального ряда на интервале [$A,B$):
Плотноcть последовательности чисел $f(n)$ в последовательности натурального ряда - $P(f,A,B)=\frac {\pi(f,A,B)} {B-A}.(1)$
Покажем, что при данном определении плотности последовательности выполняется : $0 \leq P(f,A,B) \leq 1.(2)$
При $f(n)=n$ (последовательность принимает значение натурального ряда) - $P(f,A,B)=\frac {B-A} {B-A}=1.$
Если $f(n)$ не совпадает на [$A,B$) с натуральным рядом, то $\pi(f,A,B)<B-A$, поэтому $P(f,A,B)<1.$
Если $f(n)$ не имеет членов на интервале [$A,B$), т.е $\pi(f,A,B)=0$ и $P(f,A,B)=0.$

Утверждение 1
Пусть имеются две последовательности $f(n)$ и $g(n)$ на интервале натурального ряда [$A,B$) , тогда:
$P(f+g,A,B)=P(f,A,B)+P(g,A,B)-P(f \cap g,A,B), (3)$
где $P(f \cap g,A,B)$ -плотность чисел, принадлежащим обеим последовательностям на интервале [$A,B$).

Доказательство
На основании формулы включений и исключений получаем:
$P(f+g,A,B)=\frac {\pi(f\cap g,A,B)} {B-A}=\frac {\pi(f,A,B)+\pi(g,A,B)-\pi(f \cap g,A,B)} {B-A}=P(f,A,B)+P(g,A,B)-P(f \cap g,A,B),$
где $\pi(f \cap g,A,B)$ - количество общих членов последовательностей на интервале [$A,B$) ч.т.д.

Следствие
Если последовательности $f(n)$, $g(n)$ не имеют общих членов, то $P(f+g,A,B)=P(f,A,B)+P(g,A,B), (4)$
так как $\pi(f \cap g,A,B)=0.$

Пример
Если последовательность $f(n)=2n$ (последовательность положительных четных чисел), $g(n)=2n+1$ (последовательность нечетных чисел), то $\pi(f \cap g,1,\infty)=0$ и на основании формулы (4) получаем:
$P(f+g,1,\infty)=P(f,1,\infty)+P(g,1,\infty)=1/2+1/2=1.$
В этом случае сумма двух последовательностей полностью покрывает весь натуральный ряд чисел.

Этот результат можно обобщить. Если плотность суммы нескольких последовательностей равна 1, то данные последовательности полностью покрывают весь натуральный ряд чисел.

Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения.

[AGu]

Вы, как я погляжу, переоткрыли понятие меры
(точнее, вероятностной меры на конечном множестве).

Почти все в порядке за исключением странности вида $P(f,1,\infty)$.
Беда в том, что (например, для $f(n)=2n$) по Вашему определению,
насколько я понимаю, $P(f,1,\infty) = \frac{\pi(f,1,\infty)}{\infty-1} = \frac\infty{\infty-1} =\ ???$

Как бы то ни было, стоит сначала поинтересоваться тем, что уже сделано в этой области.
Там всяких разных "плотностей" понапридумано -- уйма. И теорем всяких -- прорва.

P.S. Я -- так, мимо пробежал, а кто в теме -- наверняка подскажет.

[vicvolf]

AGu в сообщении #680403 писал(а):

Вы, как я погляжу, переоткрыли понятие меры
(точнее, вероятностной меры на конечном множестве).

Я не переоткрывал вероятностную меру. Я просто показал, что при данном определении плотность удолетворяет понятию вероятностной меры, поэтому к плотности применимы многие формулы теории вероятности. Не надо только считать, что плотность является вероятностью. Плотность последовательности не является вероятностью, так как количество членов последовательности является не случайной, а вполне определенной величиной.

Цитата:

Как бы то ни было, стоит сначала поинтересоваться тем, что уже сделано в этой области.
Там всяких разных "плотностей" понапридумано -- уйма. И теорем всяких -- прорва.

Плотностей последовательностей действительно придумано много. Я знаком с некоторыми работами. Об этом я писал в своей теме "Плотность числовой последовательности" в дискуссиях на данном форуме topic65231.html Однако важно, чтобы каждое определение плотности служило своим целям.

Цитата:

Почти все в порядке за исключением странности вида $P(f,1,\infty)$.
Беда в том, что (например, для $f(n)=2n$) по Вашему определению,
насколько я понимаю, $P(f,1,\infty) = \frac{\pi(f,1,\infty)}{\infty-1} = \frac\infty{\infty-1} =\ ???$

Да, здесь надо уточнить, что последовательность $f(n)=2n$ является монотонно возрастающей, поэтому имеет обратную функцию $f^{-1}(n)=n/2$, поэтому на основании формулы (7.1) темы "Плотность числовой последовательности" асимптотическая плотность указанной последовательности в натуральном ряде определяется по формуле $P(f,1,\infty) =f^{-1}(n)/n=1/2.$ Аналогично определяется асимптотическая плотность в натуральном ряде для второй последовательности.

[megamix62]

Что-то "веет" в бок проф. Л.Г.Шнирельмана, так и хочется взять А. Я. ХИНЧИНА "ТРИ ЖЕМЧУЖИНЫ
ТЕОРИИ ЧИСЕЛ" и перечитать

[vicvolf]

megamix62 в сообщении #680950 писал(а):

Что-то "веет" в бок проф. Л.Г.Шнирельмана, так и хочется взять А. Я. ХИНЧИНА "ТРИ ЖЕМЧУЖИНЫ
ТЕОРИИ ЧИСЕЛ" и перечитать

Перечитайте - хорошая книга! Но у Шнирельмана другое определение плотности .

[vicvolf]

Продолжение.

Рассмотрим пример на формулу (2).
Даны $f =2n+1$ (последовательность нечетных чисел), а $g=3n+1$ (последовательность положительных членов арифметической прогрессии) на интервале [1,10). Требуется определить $P(f+g,1,10)$.

На основании формулы (2):
$P(f+g,1,10)=P(f,1,10)+P(g,1,10)-P(f \cap g,1,10)=\frac {\pi(f,1,10)} {10-1}+ \frac {\pi(g,1,10)} {10-1}+ \frac {\pi(f \cap g,1,10)} {10-1}.$
$\pi(f,1,10)=5,\pi(g,1,10)=3,\pi(f\cap g,1,10)=2.$
Поэтому $P(f+g,1,10)=5/9+3/9-2/9=2/3.$

По аналогии с формулой (1) введем понятие асимптотической плотности, как долю членов последовательности в натуральном ряде.
$P(f,A,\infty)=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f,A,x)} {x}},(5.1)$ или
$P(f,A,\infty) \sim \frac {\pi(f,A,x)} {x}$,(5.2) где
$\pi(f,A,x)$ - количество членов последовательности f(n) на интервале [$A,x$) натурального ряда.

Утверждение 2
Пусть имеются две последовательности $f(n),g(n)$ на интервале натурального ряда [$A,\infty$), тогда:
$P(f+g,A,\infty)=\lim \limits_{x \to \infty} {P(f,A,x)}+\lim \limits_{x \to \infty} {P(g,A,x)}-\lim \limits_{x \to \infty} {P(f \cap g,A,x)},(6.1)$ или
$P(f+g,A,\infty) \sim P(f,A,x)+P(g,A,x)-P(f \cap g,A,x),(6.2)$
где $P(f \cap g,A,x)$ - плотность общих членов обеих последовательностей на интервале [$A,x$) натурального ряда.

Доказательство
На основании формулы (5.1) имеем:
$P(f+g,A,\infty)=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f+g,A,x)} {x}}$
По формуле включений и исключений получаем:
$\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f+g,A,x)} {x}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f,A,x)+\pi(g,A,x)-\pi(f \cap g,A,x)} {x}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f,A,x)} {x}}+\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(g,A,x)} {x}}+\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f \cap g,A,x)} {x}}=\lim \limits_{x \to \infty} {P(f,A,x)}+\lim \limits_{x \to \infty} {P(g,A,x)}-\lim \limits_{x \to \infty} {P(f \cap g,A,x)},$
или $P(f+g,A,\infty) \sim P(f,A,x)+P(g,A,x)-P(f \cap g,A,x).$ ч.т.д.

Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения.

[vicvolf]

Уточнение формул:

vicvolf в сообщении #681090 писал(а):

$P(f,A,\infty) \sim \frac {\pi(f,A,x)} {x}$,(5.2)
$P(f+g,A,\infty) \sim P(f,A,x)+P(g,A,x)-P(f \cap g,A,x),(6.2)$

$P(f,A,x) \sim \frac {\pi(f,A,x)} {x}$,(5.2)
$P(f+g,A,x) \sim P(f,A,x)+P(g,A,x)-P(f \cap g,A,x),(6.2)$

[vicvolf]

Продолжение.

В предыдущих сообщениях мы рассмотрели плотность суммы двух последовательностей. Это может быть обобщено на плотность суммы любого числа последовательностей. Указанные формулы являются аналогом формулы суммы двух и более событий из теории вероятности. Теперь мы рассмотрим аналог формулы произведения двух и более событий в теории вероятности.

Утверждение 3

Пусть имеются две последовательности $f(n),g(n)$ на интервале [A,B), тогда:
$P(f\cap g,A,B)=P(f,A,B) \cdot P(f\cap g/f,A,B),(7)$
где $P(f\cap g/f,A,B)-$ плотность общей последовательности $f\cap g$ в последовательности $f(n)$ на интервале [A,B).
Эту величину можно трактовать, как долю членов общей последовательности $f\cap g$ в последовательности $f(n)$ на интервале [A,B).

Доказательство
Из определения плотности $P(f\cap g/f,A,B)= \frac {\pi(f\cap g/f,A,B)} {B-A}.$
Преобразуем:
$\frac {\pi(f\cap g/f,A,B)} {B-A}=\frac {\pi(f,A,B)} {B-A} \frac {\pi(f\cap g/f,A,B)} {\pi(f,A,B)}=P(f,A,B) \cdot P(f\cap g/f,A,B)$ ч.т.д.

Рассмотрим пример на формулу (7).
Пусть $f(n)=n^2+1$, а g(n) - последовательность простых чисел на интервале [2,27).
Требуется найти $P(f\cap g/f,A,B).$

Найдем $P(f,2,27)=5/(27-2)=5/25, P(f\cap g/f,A,B)=3/5$.
Поэтому на основании (7):
$P(f\cap g/f,A,B)=P(f,A,B) \cdot P(f\cap g/f,A,B)=3/25.$
Обратим внимание, что $P(f\cap g/f,A,B)=3/5>P(g,A,B)=8/25.$

Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения.

[vicvolf]

Продолжение.

Теперь рассмотрим асимптотическую плотность обшей последовательности $P(f\cap g,A,x)$.

Утверждение 4

Пусть имеются две последовательности $f(n),g(n)$ на интервале [$A,\infty$), тогда:
$\lim \limits_{x \to \infty} {P(f\cap g,A,x)} =\lim \limits_{x \to \infty} {P(f,A,x)} \cdot \lim \limits_{x \to \infty} {P(f \cap g/f,A,x)} ,(8.1)$

$P(f\cap g,A,x) \sim P(f,A,x) \cdot P(f \cap g/f,A,x) ,(8.2)$

где $P(f\cap g/f,A,x)-$ асимптотическая плотность общей последовательности $f\cap g$ в последовательности $f(n)$ на интервале [$A,\infty$).

Эту величину можно трактовать, как долю членов общей последовательности $f\cap g$ в последовательности $f(n)$ на интервале [$A,\infty$).

Доказательство
На основании определения асимптотической плотности $\lim \limits_{x \to \infty} {P(f\cap g/f,A,x)}= \lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f\cap g/f,A,x)} {x}}.$
Преобразуем и при условии существования пределов получим:
$ \lim \limits_{x \to \infty}{\frac {\pi(f\cap g/f,A,x)} {x}}=\lim \limits_{x \to \infty}{\frac {\pi(f,A,x)} {x} \frac {\pi(f\cap g/f,A,x)} {\pi(f,A,x)}}=\lim \limits_{x \to \infty}{\frac {\pi(f,A,x)} {x}}\lim \limits_{x \to \infty}{\frac {\pi(f\cap g/f,A,x)} {\pi(f,A,x)}}=\lim \limits_{x \to \infty}{P(f,A,x)} \cdot \lim \limits_{x \to \infty}{P(f\cap g/f,A,x)}.$
Из определения асимптотики, это эквивалентно:
$P(f\cap g,A,x) \sim P(f,A,x) \cdot P(f \cap g/f,A,x)$
ч.т.д.

Рассмотрим пример на формулу (8.2).

Пусть дана арифметическая прогрессия $f(n)=kn+l$, где (k,l)=1, а g(n) - последовательность простых чисел на интервале [$2,\infty$).
Требуется найти асимптотичесую плотность $P(f\cap g/f,A,x).$

В теме "Плотность числовой последовательности" была найдена формула:
$P(f \cap g/f,A,x) \sim \frac {k} {\varphi(k) \ln(x)}$.
Асимптотическая плотность арифметической прогрессии в натуральном ряде равна $P(f,A,x) \sim \frac {1} {k}$, поэтому на основании (8.2) получаем:
$P(f\cap g,A,x) \sim P(f,A,x) \cdot P(f \cap g/f,A,x)=\frac {1} {k}\frac {k} {\varphi(k) \ln(x)}=\frac {1} {k \ln(x)}$.

Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения.

[vicvolf]

Продолжение.

Теперь рассмотрим аналог формулы полной вероятности для плотности последовательности.

Утверждение 5

Пусть имеются n последовательностей $f_i(n)$ на интервале натурального ряда [$A,B$) соответственно c плотностями $P(f_i,A,B)$, которые не имеют общих членов, и для которых $P(\sum_{i=1}^{n}{f_i,A,B)}=1$.
Пусть на интервале натурального ряда [$A,B$) также имеется последовательность $g(n)$, для которой известны плотности $P(f_i\cap g/f_i,A,B)$, тогда:
$P(g,A,B)=\sum_{i=1}^{n}{P(f_i\cap g/f_i,A,B)P(f_i,A,B)}.(9.1)$

Доказательство утверждения 5 вытекает из утверждений 1,3.

Утверждение 6

Пусть имеются n последовательностей $f_i(n)$ на интервале натурального ряда [$A,\infty$) соответственно c асимтотическими плотностями $P(f_i,A,x)$, которые не имеют общих членов, и для которых $P(\sum_{i=1}^{n}{f_i,A,x)}=1$.
Пусть на интервале натурального ряда [$A,\infty$) также имеется последовательность $g(n)$, для которой известны асимптотические плотности $P(f_i\cap g/f_i,A,x)$, тогда:
$P(g,A,x)\sim \sum_{i=1}^{n}{P(f_i\cap g/f_i,A,x)P(f_i,A,x)}.(9.2)$

Доказательство утверждения 6 вытекает из утверждений 2,4.

Рассмотрим пример.

Пусть $f_1(n)$ - последовательность четных чисел, а $f_2(n)$ - последовательность нечетных чисел на интервале [$2,\infty$). Пусть $g(n)$- последовательность простых чисел на интервале [$2,\infty$).
Определить асимптотическую плотность последовательности простых чисел на интервале [$2,\infty$).

На основании формулы (9.2) имеем:
$P(g,2,x)\sim P(f_1,2,x) \cdot P(f_1\cap g/f_1,2,x)+P(f_2,2,x) \cdot P(f_2\cap g/f_2,2,x)=1/2 \cdot 0+1/2 \cdot 2/ \ln(x)$=1/\ln(x).
Формула для асимптотической плотности простых чисел в последовательности нечетных чисел - $P(f_2\cap g/f_2,2,x)=2/ \ln(x)$ получается при k=2 $(f_2(n)=2n+1)$ из формулы асимптотической плотности простых чисел в арифметической прогрессии (см. тему "Плотность числовой последовательности").

Теперь поговорим о последовательностях многочленов с целыми положительными коэффициентами. Это будет в новой теме, а потом мы вернемся сюда.

Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения.

[vicvolf]

Продолжение.

Утверждение 7

Пусть имеются две монотонно возрастающие последовательности $f(n),g(n)$ на интервале [$A,\infty$). Известно, что на любом конечном интервале [A,x) $P(f\cap g/f,A,x)-$ плотность общей последовательности $f\cap g$ в последовательности $f(n)$ положительна. Тогда количество членов последовательности $f\cap g$ в последовательности $f(n)$ бесконечно.

Доказательство
Предположим противное, что количество членов последовательности $f\cap g$ в последовательности $f(n)$ конечно. Тогда можно указать такое значение B, что при $n>B$, благодаря монотонности последовательностей, общая последовательность $f\cap g$ не имеет членов, т.е. $P(f\cap g/f,B,x)=0,$ где $x>B$.
Таким образом, мы пришли к противоречию с предположением, что плотность общей последовательности на любом конечном интервале положительна, которое доказывает утверждение ч.т.д.

В теме "Последовательности многочленов с целыми, положительными коэффициентами" я показал, что плотность простых чисел в последовательности неприводимых многочленов над кольцом целых чисел 2-ого и 3-его типа $P_k(x)=a_kx^k+a_{k-1}x_{k-1}+...+a_1x+a_0$ с взаимнопростыми коэффициентами $(a_k,a_{k-1},...a_1,a_0)=1.$ имеет положительную плотность.
Так как последовательность простых чисел и многочленов с целыми положительными коэффициентами являются монотонно возрастающими, то они полностью удолетворяют условиям утверждения 7.
Следовательно, количество простых чисел в последовательности неприводимых многочленов над кольцом целых чисел 2-ого и 3-его типа $P_k(x)=a_kx^k+a_{k-1}x_{k-1}+...+a_1x+a_0$ с взаимнопростыми коэффициентами $(a_k,a_{k-1},...a_1,a_0)=1$ бесконечно.

Буду благодарен за замечания и предложения.