система 2-х диф. уравнений и функция Хевисайда

[shnurok]

Здравствуйте, друзья!

При решении задачи столкнулся проблемой - не понимаю, как объяснить получаемое решение.

Имеются 2 дифференциальных уравнения:

$ \[ \frac{\partial{}f_1(x,z)}{\partial{}z}-i\alpha_1\frac{\partial^2f_1(x,z)}{\partial{}x^2}=i\beta_1f_2^*(x,z)\theta(x), \] $
$ \[ \frac{\partial{}f_2^*(x,z)}{\partial{}z}+i\alpha_2\frac{\partial^2f_2^*(x,z)}{\partial{}x^2}=-i\beta_2f_1(x,z)\theta(x). \] $
где $\theta(x)$ - функция Хевисайда. Область изменения переменных: $-\infty<x<+\infty$,
$0\le{}z<+\infty$. Задано начальное условие: $f_j(x,z=0)=f_{j0}(x)\quad(j=1,2)$.

Таким образом, выписанные уравнения являются связанными при $x>=0$, а при $x<0$ - независимые.
Я ожидаю, что решение не будет обладать симметрией относительно $x=0$.
Если бы функции Хевисайда в правых частях уравнений не было, то решение, очевидно, было бы симметричным относительно $x=0$.


Для решения этих уравнений воспользуюсь разложение Фурье по переменной $x$:
$ \[ f_j(x,z)=\int_{-\infty}^{+\infty}F_j(q,z)e^{iqx}dq,\qquad (j=1,2). \] $

Таким образом, я перешёл к спектральному представлению. В результате получаю следующие уравнения для фурье-амплитуд:
$ \frac{\partial{}F_1(q,z)}{\partial{}z}+i\alpha_1q^2F_1(q,z)=i\beta_1\int_{-\infty}^{+\infty}\Theta(q-q')F_2^*(-q',z)dq', $
$ \frac{\partial{}F_2^*(-q,z)}{\partial{}z}-i\alpha_2q^2F_2^*(-q,z)=-i\beta_2\int_{-\infty}^{+\infty}\Theta(q-q')F_1(q',z)dq'. $

Далее, подставлю в уравнения для фурье-амплитуд развёрнутый вид фурье-образа $\Theta(q)$ функции Хевисайда:
$ \[ \Theta(q)=\frac{1}{2}\delta(q)+\frac{1}{2\pi{}iq}, \] $
и учту
$ \[ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{F_j(q',z)}{q-q'}dq'=i\pi{}F_j(q,z), \] $
которая следует из теории вычетов для вычисления интегралов в смысле главного значения.

Наконец, получаю окончательную систему уравнений для фурье-амплитуд:
$ \frac{\partial{}F_1(q,z)}{\partial{}z}+i\alpha_1q^2F_1(q,z)=i\beta_1F_2^*(-q,z), $

$ \frac{\partial{}F_2^*(-q,z)}{\partial{}z}-i\alpha_2q^2F_2^*(-q,z)=-i\beta_2F_1(q,z), $
с соответствующими начальными условиями: $F_j(q,z=0)=F_{j0}(q).$

Я не привожу решение полученных уравнений, т.к. этого мой вопрос не требует.


Теперь рассмотрим изначальные уравнения без функции Хевисайда в правых частях, т.е. нет обрезания связывания.
Повторяя все предыдущие выкладки прийдём точно к таким же уравнениям для фурье-амплитуд, а, следовательно, и решение будет таким же.

Для меня остаётся не ясным, почему так получается. Действительно всё верно, или есть какие-нибудь тонкие моменты с функцией Хевисайда?
Я подозреваю, что совпадение решения для "усечённого" взаимодействия с задачей для взаимодействия во всей области может являться следствием бесконечности слоя, на котором уравнения "взаимодействуют" в этих двух случаях. Хотя я больше склоняюсь к мысли о неправильном подходе.

Подскажите, пожалуйста, как правильно решать.