С-линейное отображение

[Ward]

Здравствуйте друзья!

Читаю одну теорему из Б. В. Шабата "Введение в комплексный анализ".
Теорема: Если $\mathbb{R}$ - линейное отображение $w=az+b\bar{z}$ сохраняет ориентацию и углы между тремя неколлинеарными векторами $e^{i\alpha_0}, e^{i\alpha_1}$ и $e^{i\alpha_2}$, то оно $\mathbb{C}$-линейно.

Доказательство: Без ограничения общности будем считать, что вектор $e^{i\alpha_0}$ и его образ направлены по положительной полуоси (для этого достаточно заменить $z$ на $ze^{-i\alpha_0}$ и аналогично поступить с $w$). Тогда $z=1$ должно соответствовать положительное число и, значит $a+b>0$. Условие сохранения угла между $z=1$ и $e^{i\alpha_1}$ запишется в виде $ae^{i\alpha_1}+be^{-i\alpha_1}=h_1e^{i\alpha_1}$, где $h_1>0$ и, следовательно, $a+be^{-2i\alpha_1}>0$; аналогично $a+be^{-2i\alpha_2}>0$; Если $b\neq 0$, то по правилу треугольника сложения векторов мы получим три различных вектора ($b, be^{-2i\alpha_1}$ и $e^{-2i\alpha_2}$) равной длины $|b|$, ведущие из конца вектора $a$ на вещественную ось. Это невозможно, и, следовательно, $b=0$

Скажите пожалуйста как он получает соотношение $ae^{i\alpha_1}+be^{-i\alpha_1}=h_1e^{i\alpha_1}$, где $h_1>0?$

[ex-math]

Левая часть -- образ $e^{i\alpha_1}$, образ 1 -- положительное вещественное число. Угол между прообразами равен $\alpha_1$, и таким же должен быть угол между образами.

[Ward]

ex-math
То, что Вы написали я понял.
Но как именно получается равенство?
Ведь равенство $ae^{i\alpha_1}+be^{-i\alpha_1}=h_1e^{i\alpha_1}$ означает коллинеарность векторов $ae^{i\alpha_1}+be^{-i\alpha_1}$ и $e^{i\alpha_1}$
Сохранение углов я что-то тут не вижу

[ex-math]

Так как 1 имеет тот же аргумент, что и ее образ, то сохранение угла между 1 и $e^{i\alpha_1}$ при отображении $w$ равносильно тому, что $e^{i\alpha_1}$ и ее образ имеют одинаковые аргументы. Т.е. их "коллинеарность" с положительным коэффициентом.