2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорема о симетричн. квадратурных ф-лах интерполяц. типа
Сообщение03.02.2013, 19:58 


06/06/12
9
Добрый вечер.

Возник небольшой теоретический вопрос, который пока не получается понять самому.

Учебник - Самарский, Гулин "Численные методы"
Глава 4, параграф 2, пункт 3 - Симметричные формулы.

Доказывается теорема со следующей формулировкой:
Пусть ядро-четная функция относительно точки $\frac {a+b} {2}$ и пусть выполнены условия симметричного расположения точек относительно центра отрезка $[a,b]$, и $n$-четное число. Тогда, если квадратурная формула интерполяционного типа точна для любого многочлена степени n, то она точна и для любого многочлена степени $n+1$.

В начале доказательства сказано что нам достаточно показать что формула точна для многочлена $(x -  \frac {a+b} {2})^{n+1}$

Не могу понять - почему при доказательстве рассматривается только такой многочлен? Не будет ли это только частным случаем?

Заранее спасибо за ответы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о симетричн. квадратурных ф-лах интерполяц. типа
Сообщение03.02.2013, 21:53 
Заслуженный участник


11/05/08
31548
Taap в сообщении #679654 писал(а):
начале доказательства сказано что нам достаточно показать что формула точна для многочлена $(x - \frac {a+b} {2})^{n+1}$

Не могу понять - почему при доказательстве рассматривается только такой многочлен?

Потому, что вычитанием из произвольного многочлена степени $(n+1)$ конкретно этого, умноженного на соответствующий коэффициент, мы получаем многочлен степени $n$, для которого формула точна уже заведомо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о симетричн. квадратурных ф-лах интерполяц. типа
Сообщение03.02.2013, 22:04 


06/06/12
9
ewert в сообщении #679694 писал(а):
Taap в сообщении #679654 писал(а):
начале доказательства сказано что нам достаточно показать что формула точна для многочлена $(x - \frac {a+b} {2})^{n+1}$

Не могу понять - почему при доказательстве рассматривается только такой многочлен?

Потому, что вычитанием из произвольного многочлена степени $(n+1)$ конкретно этого, умноженного на соответствующий коэффициент, мы получаем многочлен степени $n$, для которого формула точна уже заведомо.


Так, понятно... Но тогда с тем же успехом можно рассматривать абсолютно произвольный многочлен $(n+1)$ порядка, потому что всегда можно подобрать коэффициент, домножив на который и сложив с многочленом $n$ - го порядка, мы получим любой другой многочлен $(n+1)$ порядка? То есть данный вид многочлена в теореме выбран для удобства проведения вычислений?

Уточню вопрос... Почему конкретно этого? Об этом есть соответствующая теорема? Никакой другой полином не подойдет для этих целей?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о симетричн. квадратурных ф-лах интерполяц. типа
Сообщение03.02.2013, 23:10 
Заслуженный участник


11/05/08
31548
Taap в сообщении #679702 писал(а):
Уточню вопрос... Почему конкретно этого? Об этом есть соответствующая теорема?

Никаких теорем. Просто это -- простейший многочлен, симметричный относительно середины промежутка. Наверное, ещё проще было бы использовать вместо него соответствующий многочлен типа омеги (т.е. с корнями во всех узлах квадратурной формулы); но я не знаю технических деталей конкретно их доказательства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о симетричн. квадратурных ф-лах интерполяц. типа
Сообщение03.02.2013, 23:13 


06/06/12
9
Понятно, спасибо Вам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о симетричн. квадратурных ф-лах интерполяц. типа
Сообщение03.02.2013, 23:40 
Заслуженный участник


11/05/08
31548
А, понял. Невнимательно прочёл формулировку. Оказывается, у них $n$ -- это не степень интерполяционного многочлена, по которому построена квадратурная формула, а некий гарантированный "алгебраический порядок" точности. Тогда да -- тогда проще всего доказывать как у них, с вычитанием простейшего нечётного одночлена.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group