МП. Задача 7.4

[neo66]

$x,y>0$. Доказать неравенство $x^y+y^x>1$.

[RIP]

Можно считать, что $x\leqslant y<1$. Тогда $y^x\geqslant x^y$.

Случай 1. $x>2^{-\frac1y}$. Тогда

$$x^y+y^x\geqslant2x^y>1.$$

Случай 2. $x\leqslant2^{-\frac1y}$. Тогда

$$x^y+y^x\geqslant x^y+1+x\ln y>1,$$

что эквив.

$$x^{1-y}\ln \frac1y<1,$$

что следует из

$$2^{-\frac{1-y}y}\ln\frac1y<1.$$

После замены $t=\frac1y-1>0$ это преобразуется к нер-ву, которое легко проверяется: $2^t>\ln(1+t)$.


P.S. Как бы его доказать по нормальному?

[V.V.]

Что такое "МП"?

[maxal]

МП = Математическое Просвещение: http://www.mccme.ru/free-books/matpros.html

[Lion]

RIP писал(а):

P.S. Как бы его доказать по нормальному?

Доказательство можно прочитать здесь.

[arqady]

neo66 писал(а):

$x,y>0$. Доказать неравенство $x^y+y^x>1$.

RIP писал(а):

P.S. Как бы его доказать по нормальному?

Нормальное доказательство такое:
$x^y\geq\frac{x}{x+y}$ при всех $x>0$ и $0<y<1.$