Теория возмущений при наличии вырождения.

[Doctor_Den]

Здравствуйте!

Немного подзабыл, как правильно строится теория возмущений при наличии вырождения. Пусть есть невырожденная система имеющая энергетические уровни: $(0,0,a,-a)$ т.е. уровень 0 является двукратно вырожденным.
При наличии возмущения сначала строится секулярное уравнение, корни которого дают поправки к энергии при наличии возмущения. Но я не помню, матрица для поправок должна включать в себя только вырожденные уровни или вобще все, т.е:
$ \begin{matrix} V_1-E & ... & ... & ... \\ ... & V_2-E & ... & ... \\ ... & ... & V_3-E & ... \\ ... & ... & ... & V_4-E \\ \end{matrix} $
или
$ \begin{matrix} V_1-E & ... & ... & ... \\ ... & V_2-E & ... & ... \\ ... & ... & V_3 & ... \\ ... & ... & ... & V_4 \\ \end{matrix} $ ?

Иными словами, секулярное уравнение в моем случае должно выходить 2 или 4 порядка?

[Alex-Yu]

Doctor_Den в сообщении #679610 писал(а):

При наличии возмущения сначала строится секулярное уравнение, корни которого дают поправки к энергии при наличии возмущения. Но я не помню, матрица для поправок должна включать в себя только вырожденные уровни или вобще все, т.е:

Только вырожденные. Причем, надо пространство состояний спроектировать на линейную оболочку этих вырожденных состояний. Т.е. при двухкратном вырождении будет матрица 2х2. Формулы, что Вы ниже записали, довольно странны. Формальный ответ на "или-или": ни то, ни другое.

[Doctor_Den]

Alex-Yu в сообщении #679699 писал(а):

Doctor_Den в сообщении #679610 писал(а):

При наличии возмущения сначала строится секулярное уравнение, корни которого дают поправки к энергии при наличии возмущения. Но я не помню, матрица для поправок должна включать в себя только вырожденные уровни или вобще все, т.е:

Только вырожденные. Причем, надо пространство состояний спроектировать на линейную оболочку этих вырожденных состояний. Т.е. при двухкратном вырождении будет матрица 2х2. Формулы, что Вы ниже записали, довольно странны. Формальный ответ на "или-или": ни то, ни другое.

Такс, тогда будет матрица вида

$ \begin{matrix} V_{11}-E & V_{12} \\ V_{21} & V_{22}-E \\ \end{matrix} $

где $V_{ij}$ компоненты матрицы возмущения (по сути ее верхний левый квадрат)?

[Alex-Yu]

Doctor_Den в сообщении #679700 писал(а):

(по сути ее верхний левый квадрат)?

Да.

[Doctor_Den]

Alex-Yu в сообщении #679701 писал(а):

Да.

Благодарю!

-- Вс фев 03, 2013 23:13:47 --

Позвольте еще один глупый вопрос. Как теперь зная поправки к енергии расчитать новые с.в. задачи? В невозмущенной заладе был вектор {1,0,-1,0} соотв. уровню энергии 0. Теперь я получил пару {1,1,-1,0} и {1,-1,-1,0}, верно?

[Doctor_Den]

Уточню вопрос, рассчитав поправки для вырожденных уровней я получил $E=V_{12}, E=-V_{12}$
Следовательно для определения коэффициентов разложения я получаю систему уравнений (в моем случае диаг. элементы возмущения равны нулю):
$ -E C_1 + C_2 V_{12}=0 \\ C_1^2+C_2^2=1 $
Откуда $C=\binom{1}{1} ; \binom{1}{-1} $.

Однако с.в. имеют 4 координаты. Так вот две оставшееся брать из изначального вектора соотв. вырожденной энергии?

[Alex-Yu]

Doctor_Den в сообщении #679884 писал(а):

Так вот две оставшееся брать из изначального вектора соотв. вырожденной энергии?

Да. В нулевом приближении для вырожденного спектра учитывается только смешивание вырожденных состояний между собой. Дальше можете строить поправки уже как для невырожденного спектра. Главное, как говорят, "определить правильные функции нулевого приближения". Ну вот Вы их и определили. У Вас теперь будет $\langle 1 | V | 2 \rangle =0$ так что когда знаменатель стемиться к нулю (но приближенно в силу ращепления уровня), тогда числитель точно равен нулю. "Патологические" члены ряда теории возмущений (когда знаменатель ноль) исчезли.