Задачка из Лидла Нидеррайтера:
2.18. Показать, что любой квадратный многочлен из
![$\mathbb{F}_q[x]$ $\mathbb{F}_q[x]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/4/e34dcac3847c56655735d90cf1a705ef82.png)
разлагается над полем

на линейные множители.
Я сначала напишу, как я решил, а потом 2 вопроса:
Решение. Найдем число неприводимых многочленов 2-й степени над
![$\mathbb{F}_q[x]$ $\mathbb{F}_q[x]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/4/e34dcac3847c56655735d90cf1a705ef82.png)
: многочлен 2-й степени имеет вид

. Коэффициенты можно подобрать

способами. С другой стороны, если

приводим, то

. Число таких различных произведений равно

, значит число неприводимых многочленов 2-й степени в

равно

. С другой стороны, лемма
2.13 утверждает, что если

- неприводимый многочлен степени

над

, то

. Значит, все неприводимые многочлены 2-й степени, которые разлагаются в

, делят произведение

(в произведении

множителей). В

. Группируя скобки с сопряженными корнями, получим, что произведение содержит ровно

неприводимых многочленов 2-й степени.
Таким образом, все неприводимые многочлены 2-й степени над

разложимы в любом поле

.
Вот теперь вопросы:
1. Правильно ли решение? Является ли оно наиболее простым?
2. Правильно ли я понял, что эту задачу
нельзя решить с помощью теоремы
2.14: Если

- неприводим над
![$\mathbb{F}_q[x]$ $\mathbb{F}_q[x]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/4/e34dcac3847c56655735d90cf1a705ef82.png)
и

, то в поле

содержится любой корень многочлена. (если же можно, то эта теорема в книге доказана неверно)
upd: видимо, в теореме 2.14 просто чего-то не хватает, связанного с единственностью поля

.