механическое колебание

[kis]

знаю как решить извратившись:
1) по графику видно: $T$ = 8c, $\omega = \pi/4$
поэтому можно найти амплитуду колебаний скорости $v_{max}$ из уравнения $\[\int_0^6 {({v_{max}} \cdot \sin \frac{\pi }{4}t)dt = 0.5} \]$ и потом найти искомое $x_{max} = \[\int_0^4 {({v_{max}} \cdot \sin \frac{\pi }{4}t)dt} \]$
но это, мягко говоря, моветон

можно аналитически решить, ничего не вычисляя. по графику видно, что $x_{max} = 1$.
но эта задача, мне кажется, подразумевает формальное применение формул. пробовал решать с помощью формулы $x = x_{max}\cos(\omega t)$. но.. тут начало отсчета находится не в положение равновесия системы. в общем буду признателен, если кто-нибудь покажет как формально решить.

[nikvic]

Стиль ответа для решения зависит уровня всего списка. Откуда дровишки?
А последняя формула записана неверно...

[kw_artem]

$v=\frac {dx}{dt}=v_{max}\sin{\omega t}$
Поэтому,

$$x=\int {v_{max}\sin{\omega t}} dt=C-\frac{v_{max}}{\omega}\cos{\omega t}$$

, где $\frac{v_{max}}{\omega}$ и есть $x_{max}$. Т.к. в задаче дано перемещение, то константа нам тут роли не сыграет. В итоге, $|\Delta x|=\frac{v_{max}}{\omega}|\cos{0}-\cos{6\omega}|=x_{max}|\cos{0}-\cos{\frac{3\pi}{2}}|=0.5$
Откуда $x_{max}=0.5$

[мат-ламер]

Из графика как-то сразу видно без вычислений, что модуль перемещения за 6 секунд равен амплитуде.

[miflin]

Ужос, чё понаписали!
Имеем три четвертинки периода.
Для координаты (а она по косинусу) имеем для четвертинок равные отрезки:
1. Сюды - от крайнего положения до начала координат (амплитуда).
2. Туды - от начала до другого края (амплитуда).
3. Сюды - от другого края до начала (амплитуда).
Теперь складываем три амплитуды со знаками и получаем перемещение,
равное по модулю амплитуде.

[kis]

честно говоря, не понял, что вы написали но я так понял, что эта задача решается именно аналитически, глядя на график.
Амплитуда координаты - это площадь под графиком от 0 до 4(половина периода). Другими словами, координата возрастает от 0 до 4, а потом начинает уменьшаться.
обозначим амплитуду за $x$, тогда можно записать уравнение $x - x/2 = 0.5$(т.е. интеграл от 0 до 6 равен 0.5), из уравнения получаем $x = 1$.. но у kw_artem, получилось, что $x = 0.5$. где же я ошибся?

[Munin]

kis в сообщении #677745 писал(а):

Амплитуда координаты - это площадь под графиком от 0 до 4(половина периода).

Нет, это - удвоенная амплитуда. За половину периода точка перемещается от $-x_\mathrm{max}$ до $x_\mathrm{max}.$

[kis]

ааа... точно. и да, задача школьная. она предлагается в тесте как самая примитивная.

[miflin]

kis в сообщении #677745 писал(а):

честно говоря, не понял, что вы написали

Хорошо, попробую без ерничанья.
Из синуса для скорости следует косинус для координаты.
Точка движется в течение 3/4 периода.
За первую четверть она проходит расстояние от крайнего положения до нуля
(положение равновесия), равное амплитуде. Затем в том же направлении за
вторую четверть она проходит ещё такое же расстояние - от нуля
до противоположного крайнего положения. Итого - 2А. За третью четверть
точка проходит в обратном направлении расстояние от крайнего
положения до нуля, равное А. Итоговое перемещение: 2А-А=А.