Разрезать торт

[Korvin42]

Можно ли разрезать круг на 6 частей так, что бы углы при вершинах разрезов были равны 58, 59, 60, 60, 61, 62 градусов?
("точка" из которой мы будем резать круг (как торт), будет немного смещена в сторону от центра самого круга)....
Но как это доказать?

Спасибо

[_Ivana]

Посчитайте сумму углов. Потом решите аналогичную задачу с квадратом, прямоугольником, сердечком и внешней границей России на карте.

[Shadow]

Топикстартер скорее всего имел ввиду разрезать на 6 равных частей (площади равные).

[Cash]

Если все разрезы у нас будут исходить из одной точки, то с углом 60 это может быть только центр. Если не из одной, то тогда что означает понятие углы при вершинах разрезов?

-- Пн янв 28, 2013 14:55:10 --

Имеется ввиду что мы пытаемся поделить на равные...

[ИСН]

Cash в сообщении #677204 писал(а):

Если все разрезы у нас будут исходить из одной точки, то с углом 60 это может быть только центр.

Да ну?

[vicvolf]

Korvin42 в сообщении #676926 писал(а):

Можно ли разрезать круг на 6 частей так, что бы углы при вершинах разрезов были равны 58, 59, 60, 60, 61, 62 градусов?
("точка" из которой мы будем резать круг (как торт), будет немного смещена в сторону от центра самого круга)....
Но как это доказать?

Доказывать не надо. Она может быть и не смещена от центра, просто центральные углы и соответственно дуги разные, а стороны всех кусков будут равны радиусу круга. Это можно сделать, так как сумма углов равнв 360 гр. Можно взять центр круга и сделать разрезы на 6 одинаковых частей, естественно в этом случае все центральные углы будут равны 60 гр. Если смещать точку из центра круга, то тоже можно добиться такого соотношения центральных углов, но стороны кусков уже будут различны и не равны радиусу круга.

[Cash]

ИСН в сообщении #677208 писал(а):

Cash в сообщении #677204 писал(а):

Если все разрезы у нас будут исходить из одной точки, то с углом 60 это может быть только центр.

Да ну?

Мне показалось, что при смещении пары лучей из центра площадь высекаемого сектора будет уменьшаться. Действительно только показалось...

[Yu_K]

Похоже, если все шесть секториальных области равны, то два угла по 60 должны лежать симметрично относительно прямой проходящей через центр окружности и точку выхода лучей - ну и вопрос можно ли расположить остальные углы в оставшихся секториальных областях, так что бы сохранилось равенство площадей. Хотя о равенстве площадей ТС ни чего не говорил. Так что вроде получается нельзя разрезать ...

А откуда задача?

[_Ivana]

Можно попытаться решать аналитически - взять полярную систему координат с центром в вершине углов, задать ось относительно них, записать уравнение окружности любого радиуса (для простоты единичного) с плавающим центром (получим 2 неизвестных - координаты смещения центра), записать уравнения равенства шести площадей (через интегралы) одной шестой площади круга и смотреть, есть ли такие две координаты смещения, удовлетворяющие всем этим шести уравнениям.

[ИСН]

Так мы не режем, а месим какую-то глину.
Надо иначе.
Вот мы сместились из центра в некую точку ("начало") и оттуда режем. Площадь "секторов" (кавычки тут потому, что это не есть настоящие сектора круга), которые с углами по 60°, будет одинакова в том случае, если эти "сектора" сами расположены симметрично относительно радиуса, проходящего через настоящий центр и наше начало. Но тогда будут и другие пары "секторов", тоже симметричных относительно того же самого. И значит, у них одинаковая площадь будет достигаться при одинаковых углах. А у нас больше нет одинаковых углов.

[_Ivana]

Все так. Я почему-то забыл что у нас только 2 равных угла и думал о решении с тремя парами равных углов - например 59-59-60-60-61-61. В этом случае получается осесимметричная задача и решение вполне может быть, хотя и не факт что при таких углах.

[Shadow]

Да. Хорошее объяснение. На три части можно разрезать (кажется) $120-a,120,120+a$ градусов, причем у этого "a" должно быть ограничение сверху. На этом наши возможности "маневрировать" кажется исчерпываются.

[_Ivana]

А разве требуются какие-то бОльшие возможности для маневрирования? Например, в случае 6 частей (трех пар равных углов) делим круг пополам, берем точку на диаметре раздела, предполагаем что для каждой такой точки на диаметре можно построить из неё два луча, разделяющие полукруг на 3 равновеликие части, и предполагаем что такое построение единственно (для строгости надо доказывать и существование и единственность, конечно) и ищем значение наших трех углов (в сумме дающих 180) для каждой точки на диаметре. Вот только среди этих значений может не быть, например, тройки 59-60-61 - значит такое разбиение невозможно.

[Shadow]

Я имел ввиду, когда можем сделать такое разрезание. На 3 части можно, больше вряд ли.
Случай, который Вы рассматриваете, тройка 59-60-61 может быть, может и (скорее всего) не быть. Отдельно нужно доказыват случай когда нет 3 соседних углов с общей суммой 180 (например 59,59,60,60,61,61), чтобы разделит шестерку диаметром на две тройки.