2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Движение зарядов под действием электростатических сил
Сообщение25.01.2013, 20:25 


25/01/13
4
Доброго времени суток!
Помогите разобраться с задачей (придумал сам):
Рассматривается система из 2х одинаково заряженных шариков с массой m, и зарядом q. Оба шарика связаны нерастяжимой нитью, расстояние мейду ними r . Один из шариков неподвижно фиксирован на плоскости. Трением и массой нити пренебречь.
Описать движение второго шарика (свободного) после того как нить перерезается; т.е. найти выражения для скорости (v), координаты (x) и ускорения (a), как функции от времени (t).
Мой подход:
Записываю выражение для силы взаимодействия между шариками в момент времени t (от начала перерезания нити):
$F(t) = \frac{k q^2 }{(r+x(t))^2}$
далее

$F(t+\delta t) = \frac{k q^2 }{(r+x(t+\delta t))^2}$

ясно что ускорение зависит от времени. Выражаю его через второй закон Ньютона $a(t) = \frac{F(t)}{m}$ и составляю приращение:
$\delta a = \frac{k q^2 }{m}( \frac{1 }{(r+x(t+\delta t))^2}-\frac{1 }{(r+x(t))^2})$

Далее, деля обе части на $\delta t$ , устремляя его к нулю и предполагая, что $x(t+\delta t)=x(t) +\delta x$, получаю:
$\frac{da}{dt}=-x' \frac{\lambda}{(r+x)^3}$ где $\lambda =\frac{2kq^2}{m} $

Учитивая, что ускорение-есть вторая производная от перемещения по времени, окончательно получаю:
$x'''=-x' \frac{\lambda}{(r+x)^3}$

Хотелось бы услышать мнения на счет обоснованности данного подхода и варианты решения дифференциального уравнения движения. Свой вариант изложу позже. Отмечу лишь, что в итоге у меня x получается как неявная функция от t, которая однако не удовлетворяет начальным условиям ( x(0)=0, v(0)=0, a(0)=0 ).
Заранее всем спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение зарядов под действием электростатических сил
Сообщение25.01.2013, 20:34 


17/01/12
445
В принципе, обоснованно, т.к. Вы интуитивно использовали понятие производной.
helix в сообщении #676246 писал(а):
x(0)=0, v(0)=0, a(0)=0

Ускорение не равно нулю в нулевой момент времени.

-- 25.01.2013, 22:17 --

дифференциальное уравнение у Вас верное

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение зарядов под действием электростатических сил
Сообщение25.01.2013, 21:51 


17/01/12
445
можете привести свою неявную функцию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение зарядов под действием электростатических сил
Сообщение25.01.2013, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
helix в сообщении #676246 писал(а):
Хотелось бы услышать мнения на счет обоснованности данного подхода

Очень окольно. Есть сила - сразу имеем ускорение (вторая производная от расстояния по времени), да и само расстояние нет нужды записывать как сумму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение зарядов под действием электростатических сил
Сообщение25.01.2013, 23:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599
helix в сообщении #676246 писал(а):
из шариков неподвижно фиксирован на плоскости.

Значит задание для него массы - уже лишне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение зарядов под действием электростатических сил
Сообщение26.01.2013, 00:46 


09/02/12
358
Точно не помню, но была такая книга ( может есть в ин-те) Камке " Дифференциальные уравнения" Там, по моему, есть решения всех диффуров. Посмотрите здесь http://www.alleng.ru/d/math/math202.htm

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение зарядов под действием электростатических сил
Сообщение26.01.2013, 22:10 


25/01/13
4
nestoronij в сообщении #676311 писал(а):
Точно не помню, но была такая книга ( может есть в ин-те) Камке " Дифференциальные уравнения" Там, по моему, есть решения всех диффуров. Посмотрите здесь http://www.alleng.ru/d/math/math202.htm

Спасибо! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение зарядов под действием электростатических сил
Сообщение27.01.2013, 11:26 
Заслуженный участник


28/12/12
7947
Обычно записывается закон сохранения энергии, из него можно выразить зависимость скорости от расстояния. После чего остается одно дифференциальное уравнение первого порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение зарядов под действием электростатических сил
Сообщение28.01.2013, 22:05 


25/01/13
4
Всем доброго времени суток!
Учел замечание kw_artem о том, что ускорение не равно нулю в начальный момент времени.
Решение таково.
Сначала делаем в $x''' = -x'\frac{\lambda}{(r+x)^3}$замену $z (x) = x''$

При условии что $x'\not = 0$, получаем $x'' = \frac{\lambda}{2(r+x)^2}+C_{1}$

Ускорение в начальный момент времени t=0 (и соответсвенно x=0) находим из условия
$ma= \frac{kq^2}{r^2}$, откуда $x''(0) =\frac{\lambda}{2r^2}= \frac{\lambda}{2(r+x)^2}+C_{1}$, $C_{1}=0$

Далее делаю замену $p (x) = x'$,$p'p = \frac{\lambda}{2(r+x)^2}$, откуда $p =\sqrt{2C_{2}- \frac{\lambda}{r+x}}$.
Скорость в начальный момент равна нулю, поэтому $C_{2}=\frac{\lambda}{2r}$

В итоге, для x получаю уравнение $\frac{dx}{dt}= \sqrt{\frac{\lambda x}{r(r+x)}}$

Разделяя переменные и интегрируя, получаю решение в виде неявной функции:
$\sqrt{x(x+r)}+r\ln(\sqrt{x+r}+\sqrt{x})=t\sqrt{\frac{\lambda}{r}}+C_{3}$

В момент времени t=0, x=0 и поэтому $C_{3}=rln\sqrt{r}$
Окончательный вид неявной функции:

$t\sqrt{\frac{\lambda}{r}}=\sqrt{x(x+r)}+r \ln\frac{\sqrt{x+r}+\sqrt{x}}{\sqrt{r}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение зарядов под действием электростатических сил
Сообщение29.01.2013, 05:45 
Заслуженный участник


28/12/12
7947
helix в сообщении #677438 писал(а):
В итоге, для x получаю уравнение $\frac{dx}{dt}= \sqrt{\frac{\lambda x}{r(r+x)}}$
Из ЗСЭ это уравнение получается в одно действие:
$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\frac{\lambda}{r+x}=\frac{\lambda}{r}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group