Движение зарядов под действием электростатических сил

[helix]

Доброго времени суток!
Помогите разобраться с задачей (придумал сам):
Рассматривается система из 2х одинаково заряженных шариков с массой m, и зарядом q. Оба шарика связаны нерастяжимой нитью, расстояние мейду ними r . Один из шариков неподвижно фиксирован на плоскости. Трением и массой нити пренебречь.
Описать движение второго шарика (свободного) после того как нить перерезается; т.е. найти выражения для скорости (v), координаты (x) и ускорения (a), как функции от времени (t).
Мой подход:
Записываю выражение для силы взаимодействия между шариками в момент времени t (от начала перерезания нити):
$F(t) = \frac{k q^2 }{(r+x(t))^2}$
далее

$F(t+\delta t) = \frac{k q^2 }{(r+x(t+\delta t))^2}$

ясно что ускорение зависит от времени. Выражаю его через второй закон Ньютона $a(t) = \frac{F(t)}{m}$ и составляю приращение:
$\delta a = \frac{k q^2 }{m}( \frac{1 }{(r+x(t+\delta t))^2}-\frac{1 }{(r+x(t))^2})$

Далее, деля обе части на $\delta t$ , устремляя его к нулю и предполагая, что $x(t+\delta t)=x(t) +\delta x$, получаю:
$\frac{da}{dt}=-x' \frac{\lambda}{(r+x)^3}$ где $\lambda =\frac{2kq^2}{m} $

Учитивая, что ускорение-есть вторая производная от перемещения по времени, окончательно получаю:
$x'''=-x' \frac{\lambda}{(r+x)^3}$

Хотелось бы услышать мнения на счет обоснованности данного подхода и варианты решения дифференциального уравнения движения. Свой вариант изложу позже. Отмечу лишь, что в итоге у меня x получается как неявная функция от t, которая однако не удовлетворяет начальным условиям ( x(0)=0, v(0)=0, a(0)=0 ).
Заранее всем спасибо!

[kw_artem]

В принципе, обоснованно, т.к. Вы интуитивно использовали понятие производной.

helix в сообщении #676246 писал(а):

x(0)=0, v(0)=0, a(0)=0

Ускорение не равно нулю в нулевой момент времени.

-- 25.01.2013, 22:17 --

дифференциальное уравнение у Вас верное

[kw_artem]

можете привести свою неявную функцию?

[nikvic]

helix в сообщении #676246 писал(а):

Хотелось бы услышать мнения на счет обоснованности данного подхода

Очень окольно. Есть сила - сразу имеем ускорение (вторая производная от расстояния по времени), да и само расстояние нет нужды записывать как сумму.

[Утундрий]

helix в сообщении #676246 писал(а):

из шариков неподвижно фиксирован на плоскости.

Значит задание для него массы - уже лишне.

[nestoronij]

Точно не помню, но была такая книга ( может есть в ин-те) Камке " Дифференциальные уравнения" Там, по моему, есть решения всех диффуров. Посмотрите здесь http://www.alleng.ru/d/math/math202.htm

[helix]

nestoronij в сообщении #676311 писал(а):

Точно не помню, но была такая книга ( может есть в ин-те) Камке " Дифференциальные уравнения" Там, по моему, есть решения всех диффуров. Посмотрите здесь http://www.alleng.ru/d/math/math202.htm

Спасибо!

[DimaM]

Обычно записывается закон сохранения энергии, из него можно выразить зависимость скорости от расстояния. После чего остается одно дифференциальное уравнение первого порядка.

[helix]

Всем доброго времени суток!
Учел замечание kw_artem о том, что ускорение не равно нулю в начальный момент времени.
Решение таково.
Сначала делаем в $x''' = -x'\frac{\lambda}{(r+x)^3}$замену $z (x) = x''$

При условии что $x'\not = 0$, получаем $x'' = \frac{\lambda}{2(r+x)^2}+C_{1}$

Ускорение в начальный момент времени t=0 (и соответсвенно x=0) находим из условия
$ma= \frac{kq^2}{r^2}$, откуда $x''(0) =\frac{\lambda}{2r^2}= \frac{\lambda}{2(r+x)^2}+C_{1}$, $C_{1}=0$

Далее делаю замену $p (x) = x'$,$p'p = \frac{\lambda}{2(r+x)^2}$, откуда $p =\sqrt{2C_{2}- \frac{\lambda}{r+x}}$.
Скорость в начальный момент равна нулю, поэтому $C_{2}=\frac{\lambda}{2r}$

В итоге, для x получаю уравнение $\frac{dx}{dt}= \sqrt{\frac{\lambda x}{r(r+x)}}$

Разделяя переменные и интегрируя, получаю решение в виде неявной функции:
$\sqrt{x(x+r)}+r\ln(\sqrt{x+r}+\sqrt{x})=t\sqrt{\frac{\lambda}{r}}+C_{3}$

В момент времени t=0, x=0 и поэтому $C_{3}=rln\sqrt{r}$
Окончательный вид неявной функции:

$t\sqrt{\frac{\lambda}{r}}=\sqrt{x(x+r)}+r \ln\frac{\sqrt{x+r}+\sqrt{x}}{\sqrt{r}}$

[DimaM]

helix в сообщении #677438 писал(а):

В итоге, для x получаю уравнение $\frac{dx}{dt}= \sqrt{\frac{\lambda x}{r(r+x)}}$

Из ЗСЭ это уравнение получается в одно действие:
$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\frac{\lambda}{r+x}=\frac{\lambda}{r}$.