Исследование ряда на абсолютную и условную сходимость

[Mary84]

Добрый день.

Мне нужно исследовать ряд
$\sum^{\infty}_{n=5}}\frac{n^2+10n}{n^2-4n^3}\cdot\cos{\frac{n}{3}}$
на абсолютную и условную сходимость.

Применив признак Дирихле, я обнаружила, что условной сходимости нет. Но исследовать ряд на абсолютную сходимость у меня не получилось. Я пробовала признаки даламбера, раабе.

Подскажите, пожалуйста, как мне действовать.

[Sonic86]

Насколько я помню, Раабе должен был сработать.
Можете воспользоваться предельным признаком для определения абсолютной сходимости. Сравнивать удобно со степенным рядом.

Кстати, почему Вы дробь не упростили?

[SpBTimes]

Применив признак Дирихле невозможно обнаружить отсутствие условной сходимости.

Более того, если вы как-то это обнаружили (что сомнительно), зачем исследовать на абсолютную?

[Mary84]

Конечно, мне сразу следовало сократить.

В признаке Раабе получается
$\lim_{n \to \infty}{n\left | \frac{\cos{\frac{n}{3}}}{\cos{\frac{n+1}{3}}}-1 \right |}$

и с этим отношением косинусов у меня проблемы.

я раскладываю $\cos{\frac{n+1}{3}}$ по формуле косинуса суммы, сокращаю на $\cos{\frac{n}{3}}$ и получаю

$\lim_{n \to \infty}{n\left | \frac{1}{\cos{\frac{1}{3}-\tg{\frac{n}{3}}\sin{\frac{1}{3}}}}-1 \right |}$

меня "смущает" тангенс
из-за него я не могу сказать чему равен предел


А вот насчёт предельного признака сравнения я думала, но почему-то бросилась к Даламберу и Раабе. Он тут подходит и это, наверное, самый удобный способ.

-- 27.01.2013, 16:47 --

Если ряд без модулей не сходиться, у него не может быть абсолютной сходимости. Получается, что зря её исследую.

Значит поскольку условной сходимости нет, то и абсолютной тоже.

Спасибо вам всем огромное)))

-- 27.01.2013, 17:07 --

Простите, я всё напутала. Условная сходимость есть, а вот абсолютной нет.


Ещё раз большое спасибо:)

[Sonic86]

Контрольный вопрос: $\left|\cos\frac{n}{3}\right|=?$

[vicvolf]

Mary84 в сообщении #676810 писал(а):

Добрый день.
Мне нужно исследовать ряд
$\sum^{\infty}_{n=5}}\frac{n^2+10n}{n^2-4n^3}\cdot\cos{\frac{n}{3}}$
на абсолютную и условную сходимость.
Применив признак Дирихле, я обнаружила, что условной сходимости нет.
Подскажите, пожалуйста, как мне действовать.

А на основании чего Вы применили признак Дирихле? Докажите выполнение условий -
http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%F0%E8% ... 0.BF.D0.B0

[Mary84]

vicvolf, я применяю признак дирихле так

1) Последовательность частичных сумм ряда $\left |\sum^{\infty}_{n=5} \cos{\frac{k}{3}} \right |\leq \frac{1}{\left|\sin{\frac{1}{6}}\right|} $ ограничена

2) $ \lim_{n\to\infty}\frac{n^2+10n}{ ( n^2-4n^3)}= \lim_{n\to\infty}\frac{n^2\cdot(1+\frac{10}{n})}{n^3\cdot (\frac{1}{n}-4 )}=\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{\left |-4n \right |}}=0 $

Значит ряд сходится по пр. Дирихле


Sonic 86, я не могу ответить на ваш вопрос. n ведь не конкретное число.

[vicvolf]

Mary84 в сообщении #677061 писал(а):

vicvolf, я применяю признак дирихле так

2) $ \lim_{n\to\infty}\frac{n^2+10n}{ ( n^2-4n^3)}= \lim_{n\to\infty}\frac{n^2\cdot(1+\frac{10}{n})}{n^3\cdot (\frac{1}{n}-4 )}=\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{\left |-4n \right |}}=0 $

Значит ряд сходится по пр. Дирихле

Этого не достаточно. Еще требуется не убывание членов.

[Mary84]

Точно! При применении этого признака нужно доказывать монотонность!

Производная от
$\frac{n+10}{n-4n^2}$
начиная с некоторого номера отрицательна. Сл-но $A_n$ убывает монотонно.

[ewert]

Mary84 в сообщении #677071 писал(а):

Производная от
$\frac{n+10}{n-4n^2}$
начиная с некоторого номера отрицательна.

Да, этого достаточно.

[vicvolf]

Mary84 в сообщении #677071 писал(а):

Точно! При применении этого признака нужно доказывать монотонность!
Производная от
$\frac{n+10}{n-4n^2}$
начиная с некоторого номера отрицательна. Сл-но $A_n$ убывает монотонно.

Нет, наоборот монотонно возрастает.

[ewert]

vicvolf в сообщении #677076 писал(а):

Нет, наоборот монотонно возрастает.

Знаки игнорируются по умолчанию.

[vicvolf]

ewert в сообщении #677079 писал(а):

vicvolf в сообщении #677076 писал(а):

Нет, наоборот монотонно возрастает.

Знаки игнорируются по умолчанию.

Тогда надо минус поставить перед первым рядом и модуль его убьет. Также минус надо поставить перед вторым рядом, чтобы члены его стали положительны и монотонно убывали. Тогда по Дирихле исходный ряд будет условно сходиться, но все условия надо правильно записать!

[ewert]

Да там всем ежам ясно, куда тот минус нужно втыкнуть. И Mary84 -- наверняка тоже ясно.

[vicvolf]

Mary84 в сообщении #676810 писал(а):

Добрый день.
Мне нужно исследовать ряд
$\sum^{\infty}_{n=5}}\frac{n^2+10n}{n^2-4n^3}\cdot\cos{\frac{n}{3}}$
на абсолютную и условную сходимость.
Применив признак Дирихле, я обнаружила, что условной сходимости нет.

Но оказалось, что она есть, поэтому пояснения не повредят. Теперь, если условная сходимость есть, то надо проверить абсолютную. Иначе это делать не надо!