Доказать утверждение по ТФДП (абсолютно непрерывные функции)

[ayennvlz]

Необходимо доказать утверждение:
$f(x) \in CA[a,b] \Longleftrightarrow \mu(f(E))=0 \quad \forall E \subseteq [a,b] $ и мерой $\mu(E)=0$
Пояснение: $f(x)$ - абсолютно непрерывная на $[a,b]$ тогда и только тогда, когда мера $\mu(f(E))=0$, где $E$ - это любое множество из $[a,b]$ и $\mu(E)=0$.

Нужно доказать в обе стороны. В одну из сторон должно доказываться по схеме:
определение меры $\rightarrow$ множество открытое $\rightarrow$ объединение открытых множеств (разбиение отрезка $[a,b]$ системой непересекающихся интервалов $\{(a_k,b_k)\}$ ) $\rightarrow$ определение абсолютной непрерывности.
Возможно, схема неточна, но ключевыми тут является определение меры (ответ на вопрос: что значит, что мера какого-то множества равна нулю (или какому-нибудь числу)?) и определение абс. непрерывности.

Насколько я понимаю $\mu(E)=0$ должно давать, что $\sum_{k=1}^{n} \vert b_k - a_k \vert < \delta$, а $\mu(f(E))=0$ должно давать, что $\sum_{k=1}^{n} \vert f(b_k) - f(a_k) \vert < \varepsilon$, где $(a_k,b_k) $ есть разбиение отрезка $[a,b]$ на $\{(a_k,b_k)\}$, что и является необходимым для выполнения определения абс. непрерывности. Поэтому вопрос "что значит, что мера какого-то множества равна нулю?" - наиболее приоритетный.

Заранее благодарю.

[cool.phenon]

Можно определить так : измеримое множество $A$ имеет меру 0 (по Лебегу), если для любого $\varepsilon>0$ найдётся покрытие множества $A$ элементарными множествами $E_{n}$ такое,что сума мер всех элементарных множеств меньше эпсилон.

[ayennvlz]

Если доказывать из абс. непр. равенство этих двух мер нулю, то получится что:
$E = \cup (a_k , b_k)$ - откр. покрытие отрезка $[a,b]$
$\mu(E)=\sum_{k=1}^{n} \vert b_k - a_k \vert < \delta$ - из определения абс. непр.
$\mu(f(E))=\sum_{k=1}^{n} \vert f(b_k) - f(a_k) \vert < \varepsilon$ - аналогично из опр.
А как из этих неравенств получить точное равенство нулю. С $\varepsilon$ все, вроде, понятно, т.к. $\varepsilon$ можно задать сколь угодно малой, но как быть с $ \delta$ ?

[cool.phenon]

Здесь что-то не так. Мы ведь берём покрытие множества $E$. А вы берёте покрытие всего отрезка.