Компактность

[Rich]

Являются ли фундаментальные последовательности функций сходящимися на компакте?

[SpBTimes]

А почетче?

[ewert]

Rich в сообщении #675183 писал(а):

Являются ли фундаментальные последовательности функций сходящимися на компакте?

Да. Поскольку у них есть по хоть одной предельной точке.

[Rich]

Спасибо.

[AGu]

ewert, конечно, прав, но Вы все же не подумайте, что для того, чтобы быть сходящейся, последовательности достаточно иметь хоть одну предельную точку.
А еще не подумайте, что для того, чтобы иметь на компакте хоть одну предельную точку, последовательности надо быть фундаментальной.

[Rich]

Верно ли, что если существует (хотя бы одна) предельная точка некоторой последовательности, она может не сходится, только в том случае, если предельная точка не принадлежит данному множеству на котором определена последовательность?

[xmaister]

Ничего не понял.

Rich в сообщении #675607 писал(а):

Верно ли, что если существует (хотя бы одна) предельная точка некоторой последовательности, она может не сходится

Несложно показать, что для сходимости фундаментальной последовательности доастаточно сходимости любой ее подпоследовательности.

[AGu]

Rich в сообщении #675607 писал(а):

Верно ли, что если существует (хотя бы одна) предельная точка некоторой последовательности, она может не сходится, только в том случае, если предельная точка не принадлежит данному множеству на котором определена последовательность?

Эка Вы завернули! Тут без телепатии будет сложновато...

Прежде всего, предельная точка последовательности -- она вообще где? По определению -- какому (топологическому, метрическому...) пространству она принадлежит? Она принадлежит тому же пространству, по которому бегают члены последовательности. Если бы это было не так, исчез бы смысл: что за "точка" такая, чья она, из какого пространства родом?

Ваш вопрос обретет смысл, если под "множеством, на котором определена последовательность" понимать, скажем, множество, составленное из членов этой последовательности. Тогда ответ на Ваш вопрос -- нет. Предельная точка расходящейся последовательности вполне может быть ее членом. Достаточно объявить эту точку, например, первым членом (если она еще не была таковым) -- вот вам и примерчик. А если не стремиться к пониманию сути, то можно рассмотреть элементарный пример: последовательность $(0,1,0,1,\dots)$ прыгает по компакту $\{0,1\}$, расходится, имеет две предельные точки, и обе они -- не то что рядом, а вообще тут. (Последовательность, разумеется, не фундаментальная.)

Теперь я включу телепатию на самую мощь... Жжж... Вижу, вижу! Вижу неполное (метрическое или просто равномерное) пространство. И вижу я в нем фундаментальную последовательность, которая не сходится. А еще я вижу пополнение нашего пространрства. И в этом пополнении я вижу предельную точку нашей последовательности. И вижу, что эта точка не принадлежит исходному пространству. И понимаю, что если бы эта точка принадлежала исходному пространству, наша фундаментальная последовательность, обязана была бы к ней сходится. И понимаю, что фундаментальная последовательность не сходится только в том случае, когда ее предельная точка, имеющаяся в пополнении, не принадлежит исходному пространству, "на котором определена последовательность".

Уфф. Перегрев. Выключаю телепатию...

[ewert]

AGu в сообщении #675659 писал(а):

Вижу, вижу! Вижу неполное (метрическое или просто равномерное) пространство. И вижу я в нем фундаментальную последовательность, которая не сходится. А еще я вижу пополнение нашего пространрства.

А зачем Вы это видите?... Речь изначально шла конкретно о компакте. И какая при этом разница -- полное ли объемлющее пространство или нет?...

[AGu]

ewert в сообщении #675669 писал(а):

А зачем Вы это видите?

Это -- вопрос не ко мне, а к телепатируемому. Пусть он ответит, угадал я или промахнулся мимо его мыслей. Если угадал -- станет понятно, зачем. Ну а если промахнулся -- стало быть, незачем.

[Rich]

На самом деле, я просто вспомнил,что последовательность 1/n не сходиться на (0,1), т.к. 0 в нем не содержится(хотя является предельной точкой) и сделал столь глупое утверждение. Пример с (0,1,0,1,...) меня переубедил.

[xmaister]

Rich в сообщении #675890 писал(а):

последовательность 1/n не сходиться на (0,1), т.к. 0 в нем не содержится(хотя является предельной точкой)

ЩИТО?

[AGu]

Rich в сообщении #675890 писал(а):

На самом деле, я просто вспомнил,что последовательность 1/n не сходиться на (0,1), т.к. 0 в нем не содержится(хотя является предельной точкой)

Значит, телепатия меня не подвела.

xmaister в сообщении #675956 писал(а):

ЩИТО?

Ну щито ж Вы так не сниходительны, xmaister? С точностью до легко восполнимых недомолвок -- все верно. Последовательность $\bigl(\frac1{n+1}\bigr)_{n\in\mathbb N}$ действительно не сходится в пространстве $(0,1)$, а число $0$ и впрямь не принадлежит $(0,1)$, но является предельной точкой этого интервала и этой последовательности -- правда уже не в самом пространстве $(0,1)$, а в его пополнении $[0,1]$.

[ewert]

Тут пошёл какой-то совершенный гнобёж на совершенно пустом месте.

Rich, из компактности (как бы её не определять) в любом случае следует "секвенциальная" компактность: из любой последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, причём сходящуюся именно к элементу этого множества (последнее "причём" для компакта, рассматриваемого как пространство само по себе, просто подразумевается).

И если это верно для (в частности) множества значений любой фундаментальной последовательности -- значит, любая фундаментальная последовательность имеет хоть одну подпоследовательность, сходящуюся к некоторому элементу исходного множества; ну а тогда к этому элементу сходится и вся последовательность. Вот и всё.

Это даже не теорема; это в определённом смысле просто банальность. Ну а тут развели бодягу в стиле бендеровского Ора и Мечала (впрочем, подобное поведение у нас последнее время политически как-то в моде, так что не особенно и удивляюсь).

[xmaister]

AGu
Я просто не понял о чем идет речь. Прошу прощения.