Пример функции.

[cool.phenon]

Существует ли невозрастающая (неубывающая) на отрезке функция, которая не удовлетворяет условию Дини? Нет никаких идей,но чувствую,что ответ отрицательный. Подтолкните,пожалуйста, на идею.

[xmaister]

Что значит условие Дини?

[cool.phenon]

Условие Дини - признак поточечной сходимости ряда Фурье.

[ИСН]

Это признак в точке или на отрезке?
И следующий вопрос: Вы знаете хоть какую-нибудь функцию, которая ему не удовлетворяет?

[cool.phenon]

Формулируется где-то так : если выполняется условие Дини (существуют левые и правые границы в каждой точке отрезка,интегралы $\int\limits_{0}^{\varepsilon }{\frac{f(x\pm t)-f\left( x\pm 0 \right)}{t}}dt$ сходятся абсолютно при некотором $\varepsilon$), то в каждой точке отрезка ряд Фурье сходится к $\frac{f\left(x-0\right)+f\left(x+0\right)}{2}$

Возьмём, к примеру, функцию Дирихле. Она не удовлетворяет условию.

[ИСН]

Так. А непрерывную можно придумать - такую, чтобы у неё этот интеграл расходился?

[cool.phenon]

Пока что не нашёл. Еще в поиске..

-- 23.01.2013, 22:50 --

Функция Ван дер Вардена. Но не до конца уверен.

[ИСН]

Что это такое и зачем такие сложности? Можно просто какую-нибудь функцию, у которой в нуле - ноль, но $\int\limits_0^\varepsilon{f(t)\over t}dt$ расходится?

[cool.phenon]

Согласен,слишком заумно. $f\left(t\right)=\frac{t}{1+t}$

$\int\limits_{0}^{\varepsilon }{\frac{f(x+t)-f(x)}{t}}dt=\int\limits_{0}^{\varepsilon }{\frac{\frac{x+t}{1+x+t}-\frac{x}{1+x}}{t}}dt=\int\limits_{0}^{\varepsilon }{\frac{1}{\left( 1+x+t \right)\left( 1+x \right)}}dt-$
расходится.

То-полный бред.Еще в раздумиях

[ИСН]

А это что было и зачем? Вы хотите чего? Чтобы условие нарушалось где?

[cool.phenon]

Я ищу случай,когда это условие нарушается для некоторой монотонной на отрезке функции(возможно,с точками разрыва).

[ИСН]

Да это понятно. Но это ответ на другой вопрос. Где Вы хотите, чтобы оно нарушалось для этой такой-сякой функции? Везде? Или хотя бы в одной точке?

[cool.phenon]

Хотя бы в одной точке.

[ИСН]

Ну и давайте искать такую, чтобы у неё расходилось в одной точке. В нуле.

ИСН в сообщении #675613 писал(а):

Можно просто какую-нибудь функцию, у которой в нуле - ноль, но $\int\limits_0^\varepsilon{f(t)\over t}dt$ расходится?

Берём, пробуем... $f(x)=x$ годится? Нет? А что делать, в какую сторону менять? $x^2$? $\sqrt x$?

[cool.phenon]

Так не получится,вчера как раз поэтому и зачеркнул пост.Если $f\left(x\right)=x^{\alpha}$, $\alpha>0$, то $\frac{f\left(x\right)}{x}=x^{\alpha-1}$, а интеграл в любом случае сходится. А нужно,чтобы для некоторого $x$ все интегралы расходились.