Теорема Ферма, сумма кубов и пирамида Хеопса

[Someone]

VALERI2 в сообщении #673737 писал(а):

правило (лемма) цитирую из "Введения в теорию алгебраических чисел" М.М.Постникова:
"Для ЛЮБЫХ взаимно простых положительных чисел m и n разной чётности формулы (2)-(4) доставляют состоящее из положительных целых чисел
примитивное решение уравнения (1) с чётным y. Обратно, ЛЮБОЕ состоящее из положительных чисел примитивное решение (x,y,z) уравнения (1), для которого
y чётно, выражается формулами (2)-(4), где m и n - взаимно простые числа разной чётности"

Это верно.

VALERI2 в сообщении #673737 писал(а):

Обращаю внимание на слово "ЛЮБЫЕ" , т.е. $m-n=1$ (частный случай) должен подчиняться этому правилу.

Ещё раз: если, как Вы утверждаете, всегда можно взять такие $m$ и $n$, чтобы было $m-n=1$, то будьте любезны для $x=39$, $y=80$, $z=89$ указать такие $m$ и $n$. Обращаю Ваше внимание на то, что, по правилам дискуссионных разделов форума, Вы обязаны ответить на мой вопрос, причём, не отговоркой, а по существу.

[nnosipov]

VALERI2 в сообщении #673832 писал(а):

Т.е., если брать переменные в квадрате, четвёртой и т.д., то при $m-n=1$ или правило неверно, или переменные не могут быть таковыми.

Это предложение лишено смысла. Ещё раз прошу внятно объяснить, почему невозможен, например, случай $m-n=3$.

[VALERI2]

Уважаемый nnosipov, правила и существуют для ВСЕХ .
Возьмите, пожалуйста, формулу (1) и попробуйте найти хотя бы одну пару чисел m и n, чтобы была нарушена целостность x,y,z.
Уверен, что не найдёте. Потому что существует ПРАВИЛО.

Уважаемый Someone, Вы сначала берёте m=8,n=5, ВЫЧИСЛЯЕТЕ x,y,z, а по НИМ хотите, чтобы я получил $m-n=1$.
Некорректно получается. Взаимосвязь m и n c x,y,z однозначна: это же очевидно из (2)-(4).

[nnosipov]

VALERI2 в сообщении #673876 писал(а):

Возьмите, пожалуйста, формулу (1) и попробуйте найти хотя бы одну пару чисел m и n, чтобы была нарушена целостность x,y,z.
Уверен, что не найдёте. Потому что существует ПРАВИЛО.

Вы не отвечаете на поставленный вопрос, а несёте какую-то околесицу. Не вижу смысла продолжать этот разговор. Вы не доказали неразрешимость уравнения $x^4+y^4=z^4$, поскольку в Ваших рассуждениях содержится грубейшая логическая ошибка.

[Jnrty]

VALERI2 в сообщении #673876 писал(а):

Уверен, что не найдёте.

Не найдёт. Почему невозможен случай $m-n=3$?
Вам Someone как раз представил такой случай, и Вы сами пишете, что невозможно в этом случае получить $m-n=1$. Стало быть, случай $m-n=3$ не только возможен, но и его невозможно свести к случаю $m-n=1$. Поэтому Ваше "доказательство" проваливается, потому что Вы рассматриваете только случай $m-n=1$ и не рассматриваете случай $m-n=3$, или $m-n=5$, или $m-n=7$, и так далее до бесконечности.

Jnrty:

Очень хорошо подумайте, прежде чем писать следующее сообщение. Если оно мне не понравится, я тему закрою. А если Вы ещё раз напишете свою глупость про "правило", якобы позволяющее вместо любых $m$ и $n$ брать только такие, где $m-n=1$, то я Вас, пожалуй, и заблокирую. За глупость.

[VALERI2]

Уважаемый nnosipov, жаль, что Вы не хотите даже вникать в суть моих разъяснений.
Попробуйте всё-таки повнимательнее вникнуть в суть леммы,которую я цитировал.
А насчёт продолжения разговора-дело Ваше.

[Belfegor]

VALERI2 в сообщении #673622 писал(а):

Из (16)- (17) следует, что
$z^2-y^2=(m-n)^2=1$ (19)

Уважаемый VALERI2!

из $x^4+y^4=z^4$ следует $z^4-y^4=x^4$ и далее $(z^2-y^2)(z^2+y^2)=x^4$ и $(z^2-y^2)>1$
Так что ваши предположения некорректны Вы всего лишь показали очевидное, что $(z^2-y^2)>1$

[nnosipov]

Jnrty в сообщении #673884 писал(а):

... то я Вас, пожалуй, и заблокирую. За глупость.

Можно даже за хроническую глупость. С таким диагнозом на этом форуме делать нечего.

[VALERI2]

Здравствуйте!
Приведу доказательство для n=6.
1.Предположим, что
$x^6+y^6=z^6$ (1)
Для доказательства того, что (1) неразрешимо в целых числах, достаточно привести к противоречию предположение о существовании решения (x,y,z), состоящего из попарно взаимно простых чисел – примитивного решения ([1], стр.21-22).
2. Используем для доказательства формулы общего решения уравнения
$x^2+y^2=z^2$ (2)
Лемма. Для ЛЮБЫХ взаимно простых положительных чисел m и n<m разной чётности формулы:
$x=m^2-n^2$ , (3)
$y=2mn$ , (4)
$z=m^2+n^2$ (5)
доставляют состоящее из положительных чисел примитивное решение уравнения (2)
с чётным y. Обратно, ЛЮБОЕ состоящее из положительных чисел примитивное решение
(x,y,z) уравнения (2), для которого y чётно, выражается формулами (3)-(5), где
m и n<m – взаимно простые числа разной чётности([1], стр.30-31).
То есть, взяв ЛЮБЫЕ взаимно простые m и n разной чётности, мы получим примитивное решение (состоящее из попарно взаимно простых чисел) уравнения (2) . Обратите внимание на то, что m и n могут быть ЛЮБЫМИ взаимно простыми разной
чётности : 2 и 1, 5 и 2, 3 и 2…. Ограничения в лемме на разность m-n нет.
3. Переходим к уравнению (1). Запишем его в виде:
$(x^3)^2+(y^3)^2=(z^3)^2$ (6)
Обозначим:
$x^3=x_1$ (7)
$y^3=y_1$ (8)
$z^3=z_1$ (9)
Здесь $ х_1, y_1, z_1$- попарно взаимно простые.
Перепишем (6) с учётом (7)-(9):
$(x_1)^2+(y_1)^2=(z_1)^2$ (10)
Это квадратное уравнение относительно $ х_1, y_1, z_1$ . Формулы общего решения уравнения (10) примут вид:
$x_1=m^2-n^2$ , (11)
$y_1=2mn$ , (12)
$z_1=m^2+n^2$ (13)

4. Согласно лемме (п.2) , чтобы получить примитивное решение ($ x_1, y_1, z_1$) уравнения (10), мы имеем право взять ЛЮБЫЕ взаимно простые m и n разной чётности.
Я беру для доказательства (m-n)=1 , потому что в этом случае любые m и n являются
взаимно простыми числами разной чётности. Таким образом, я не нарушаю ни одного условия леммы. Это не значит, что нельзя брать (m-n)=3 или (m-n)=5. Ни в коем случае.
Для доказательства достаточно получить противоречие хотя бы для одной пары m и n, т.к.
в лемме говорится о ЛЮБЫХ m и n. То есть, нет необходимости доказывать теорему для
всех пар.
5. Итак, положим:
$m-n=1$ (14)
Из (12)-(14) следует, что
$z_1-y_1=(m-n)^2=1$ (15)
и с учётом (7)-(9):
$z^3-y^3=1$ (16)
В целых числах это уравнение неразрешимо, поэтому и (6) и исходное предположение
(1) – неверно, т.к. требование п.1 выполнено.
Т.к. рассуждения справедливы для любого чётного показателя в (1), большего 2, то для чётных степеней можно считать теорему Ферма доказанной.

Литература. 1. М.М.Постников «Введение в теорию алгебраических чисел» Москва. «Наука».1982 г.

[Cash]

В (11)-(13) вы уже не можете взять ЛЮБЫЕ $m, n$, поскольку вам нужно не просто решение уравнения (10), а решение, удовлетворяющее еще и некоторым условиям: (7) - (9). Поэтому необходимо доказывать, что решения нет для КАЖДОЙ пары $m, n$

[Deggial]

Тема закрыта в силу неспособности ТС понять элементарную ошибку в рассуждениях и неконструктивности последующего обсуждения.