Задача по дискретной математике [логика]

[user234]

Здравствуйте,

Сломал всю голову над следующей задачей:
Докажите, что $(q \wedge (p \rightarrow \neg q)) \rightarrow \neg p$ является тавтологией, при условии, что:
$p \rightarrow q \leftrightarrow \neg p \vee q$
(без использования truth tables)
----------------------------------------------------------------------------------
Я рассуждал вот таким образом:

Теоретически, $(q \wedge (p \rightarrow \neg q)) \rightarrow \neg p$ НЕ является тавтологией только в случае, когда одновременно выполняются следующие 2 условия:
а) $(q \wedge (p \rightarrow \neg q))$ - истинно
б) $\neg p$ - ложно (т.е., когда р - истинно)

Тогда:
$(q \wedge (p \rightarrow \neg q))$ истинно при условии, что
- $q$ истинно И $(p \rightarrow \neg q)$ тоже.
В свою очередь $(p \rightarrow \neg q)$ истинно лишь при условии, что $\neg q$ истинно (т.к. из б) следует истинность $p$).
$q$ не может быть одновременно True и False. Приходим к противоречию.

Подскажите пожалуйста:
1) Правильно ли мое решение?
2) Если правильно, то зачем здесь лишние данные $p \rightarrow q \leftrightarrow \neg p \vee q$?

[Sonic86]

user234 в сообщении #673990 писал(а):

Подскажите пожалуйста:
1) Правильно ли мое решение?

В алгебре высказываний да.

user234 в сообщении #673990 писал(а):

2) Если правильно, то зачем здесь лишние данные $p \rightarrow q \leftrightarrow \neg p \vee q$?

Видимо, на всякий случай, если вдруг студент затруднится с импликацией (это даже не данные, а просто тавтология)

user234 в сообщении #673990 писал(а):

truth tables

Есть русскоязычный термин "таблица истинности".

[user234]

Цитата:

В алгебре высказываний да.

А можно как-то по-другому решить?

Вобще изначально задача стояла так:
Докажите, что $(q \wedge (p \rightarrow \neg q)) \rightarrow \neg p$ является тавтологией, при условии, что $p \rightarrow q \leftrightarrow \neg p \vee q$ и используя вот эту таблицу:
http://www.google.ca/url?source=imglanding&ct=img&q=http://highered.mcgraw-hill.com/sites/dl/free/0072880082/299355/table1.gif&sa=X&ei=jAz8UIS0MuOz2QWk4YGQDw&ved=0CAwQ8wc&usg=AFQjCNEPLLIqtJfKjflHW0TMkmaCdhYQmw (не получилось вставить картинку)

Я смог решить только "из общих соображений", а тут, похоже, подразумевается определенный способ.

[user234]

up

[Deggial]

user234, замечание за искусственный подъем темы

[greg93]

Есть версия, что в задании требуется привести с помощью эквивалентных преобразований (которые даны как раз в таблице) и условии (которое лишнее, потому что тавтология, а могло быть дано и другое) данное вам выражение к тождественной единице (на последнем шаге получается, например, $p \vee \neg p $ в зависимости от способа решения).