Задача на построение

[DrVirogov]

Дан прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием.
На двух смежных сторонах боковой грани выбраны точки А и В, такие, что:
- диагональ грани пересекает отрезок АВ в точке С;
- отезок АВ самый короткий из всех таких отрезков, проходящих через С.
Построить куб, равнообъёмный с параллелепипедом.

[DrVirogov]

Я тут подумал и решил дать альтернативную формулировку задачи.

Однажды на острове Делос разразилась эпидемия чумы. Жители острова обратились к дельфийскому оракулу, и тот сообщил, что необходимо удвоить жертвенник святилища, который имел форму куба. Жители Делоса соорудили ещё один такой же куб и поставили его на первый, но эпидемия не прекратилась. После повторного обращения оракул разъяснил, что удвоенный жертвенник также должен иметь форму куба и начертил на новом жертвеннике линию, о которой говорится в условии. После этого жители Делоса смогли сделать жертвенник нужной формы.

[TOTAL]

DrVirogov в сообщении #674366 писал(а):

отезок АВ самый короткий из всех таких отрезков, проходящих через С.

Из этого условия легко находится сторона куба.

[DrVirogov]

Нужно через вершину прямоугольника, ближайшую к точкам A и B, провести прямую, параллельную AB. Эта прямая отсечёт на продолжениях сторон прямоугольника отрезки $x$ и $y$. Из условия минимальности отрезка AB следует:
$x^3=a^2b$
$y^3=ab^2$
где $a$ и $b$ - стороны прямоугольной грани.

Разумеется, отрезок AB невозможно построить циркулем и линейкой.