Криволинейный интеграл по замкнутому контура

[Limit79]

Вычислить криволинейный интеграл по замкнутому контуру в положительном направлении, используя формулу Грина.

$\int\limits_{l}^{} xy^2 dy + x^2ydx$

$l: x^2-y^2=9$

Не понимаю, необходимо вычислить по замкнутому контуру, но контур $l$ - это же гипербола - не замкнутый контур.

-- 19.01.2013, 17:58 --

Собственно вопрос: это я что-то не так понял, или условие некорректно, и при таком условии данное задание решить невозможно?

[ewert]

Очевидно, опечатка -- имелась в виду окружность.

[Limit79]

ewert
Спасибо за ответ, просто не очень в этой теме ориентируюсь, и думал, что здесь какие-то свои тонкости есть. Попробую сделать с окружностью.

[Limit79]

$\frac{\partial Q}{\partial x} = y^2$

$\frac{\partial P}{\partial y} = x^2$

Тогда:

$\int\limits_{l}^{} xy^2 dy + x^2ydx = \int\int\limits_{D} (y^2-x^2) dx dy$

Перехожу в полярную СК, получаю:

$\int\int\limits_{D} (y^2-x^2) dx dy = \int\limits_{0}^{2 \pi} (- \cos(2 \varphi)) d \varphi \int\limits_{0}^{3} (r^3) dr = ... = 0$

Верно ли? Ноль в ответе несколько смущает.

-- 21.01.2013, 03:13 --

И вопрос сюда же: $ \int\limits_{0}^{2 \pi} \cos(2 \varphi) d \varphi = \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{2 \pi} \cos(2 \varphi) d( 2 \varphi ) $ - справедлив ли такой переход? вроде как да, но с другой стороны: переменные заменяем, а пределы не меняем... или все таки верхний предел второго интеграл должен быть $4 \pi$ ?