вопрос по геометрии

[mathzero]

alcoholist в сообщении #672840 писал(а):

вообщем непонятно в чем тут вопрос у ТС

-- Чт янв 17, 2013 18:27:29 --

мат-ламер в сообщении #672468 писал(а):

подскажите, можно-ли задать систему координат в пространстве, не определив в нём метрику?

а как задать систему координат, если умеем расстояние измерять?

действительно, в этом случае тоже как-то непросто. надо выбрать, как вы и сказали, базис. а если в таком пространстве не определять расстояние,то и направления между базисными векторами тоже не будут определяться? то есть, не вводя длин векторов и углы между ними тоже не будут определены? в элементарной геометрии свойство перпендикулярности прямых определяется через расстояние

[alcoholist]

mathzero в сообщении #674378 писал(а):

действительно, в этом случае тоже как-то непросто. надо выбрать, как вы и сказали, базис. а если в таком пространстве не определять расстояние,то и направления между базисными векторами тоже не будут определяться? то есть, не вводя длин векторов и углы между ними тоже не будут определены? в элементарной геометрии свойство перпендикулярности прямых определяется через расстояние

Вы путаете разные понятия, которые в школе употребляются вместе, отчего кажется, что они связаны между собой.

1) Определим линейное пространство. Линейную независимость наборов векторов. Введем понятие базиса. Назовем пространства для которых имеется конечный базис конечномерными. Свойства линейных конечномерных пространств изучаются в своем месте (изоморфность при одинаковой размерности, выпуклость6 сопряженные, тензорные произведения и т.д.).

2) Определим расстояние (на произвольном множестве) как в учебнике. Свойства метрических пространств изучаются в своем месте (внутренняя метрика, метрика длин, расстояния между множествами и т.д.)

3) Если на линейном пространстве есть метрика, которая инвариантна относительно сдвига и единичный шар в которой -- выпуклое множество, такие называются нормированными. Изучаются в соответствующем месте (длины у векторов есть, но углов нет -- кривизна бесконечна! за исключением случая п. 4)

4) Если на линейном пространстве есть скалярное произведение, то можно определить не только длины векторов, но и углы между векторами. Существование ортонормированного базиса доказывается процедурой Грама-Шмидта

[mathzero]

alcoholist в сообщении #672840 писал(а):

а как задать систему координат, если умеем расстояние измерять?

как вы и говорите, выбрать базис. но в этом случае можно выбрать эталон расстояния.

[alcoholist]

mathzero в сообщении #674386 писал(а):

как вы и говорите, выбрать базис. но в этом случае можно выбрать эталон расстояния

вот я нарисую на плоскости две неколлинеарные стрелочки -- это базис... а "эталон как задать"?

[mathzero]

alcoholist в сообщении #674390 писал(а):

вот я нарисую на плоскости две неколлинеарные стрелочки -- это базис... а "эталон как задать"?

я полагал выбрать длину одной из стрелочек за эталон, но тогда надо определить понятие длины. как-то всё закручено: длина - это инвариантная величина относительно определённых преобразований системы координат, то есть система координат понятие первичное по отношению к длине?
вот, и ещё один вопрос появился. понятие длины можно ввести только на векторных пространствах, то есть множествах однородных объектов? иначе спрошу: на фазовой плоскости термодинамического состояния газа, определяемого, например, давлением и плотностью расстояние (геометрическое) между двумя точками вводить бессмысленно?

[mathzero]

alcoholist в сообщении #674382 писал(а):

Вы путаете разные понятия, которые в школе употребляются вместе, отчего кажется, что они связаны между собой.

1) Определим линейное пространство. Линейную независимость наборов векторов. Введем понятие базиса. Назовем пространства для которых имеется конечный базис конечномерными. Свойства линейных конечномерных пространств изучаются в своем месте (изоморфность при одинаковой размерности, выпуклость6 сопряженные, тензорные произведения и т.д.).

2) Определим расстояние (на произвольном множестве) как в учебнике. Свойства метрических пространств изучаются в своем месте (внутренняя метрика, метрика длин, расстояния между множествами и т.д.)

3) Если на линейном пространстве есть метрика, которая инвариантна относительно сдвига и единичный шар в которой -- выпуклое множество, такие называются нормированными. Изучаются в соответствующем месте (длины у векторов есть, но углов нет -- кривизна бесконечна! за исключением случая п. 4)

4) Если на линейном пространстве есть скалярное произведение, то можно определить не только длины векторов, но и углы между векторами. Существование ортонормированного базиса доказывается процедурой Грама-Шмидта

подскажите пожалуста литературу, в которой геометрия рассматривается по частям, как вы написали. я начал читать дубровина "современную геометрию", но и там система координат и расстояние между точками уже используются вместе.