Конечные поля, дзета функции

[xmaister]

Шафаревич, стр. 42 писал(а):

Предположим, что коэффициенты уравнений $F_i(T)$ замкнутого множества $X\subset\mathbb{A}^n$ принадлежат полю $\mathbb{F}_p$ из простого числа элементов $p$. Рассмотрим отображение $\varphi$ пространства $\mathbb{A}^n$, определяемое формулами

$$\varphi (\alpha_1,\ldots ,\alpha_n)=(\alpha_1^p,\ldots ,\alpha_n^p).$$

Это, очевидно, регулярное отображение.
....
Обозначим число точек $x\in X$ с координатами в поле $\mathbb{F}_{p^r}$ через $\nu_r$. Для того чтобы проще обозреть эту совокупность чисел, рассматривают их производящую функцию $P_X(t)=\sum\limits_{r=1}^{\infty}\nu_rt^r$.
...

Далее вводится дзета-функция $Z_X(t)$ замкнутого множества $X$. Мне не понятно, при чем тут вообще поля из $p^r$ элементов и над каким полем рассматривается аффинное пространство $\mathbb{A}^n$? Имеется ввиду подполя основоного поля изоморные $\mathbb{F}_{p^r}$? А почему не может быть 2ух различных подполей основного поля изоморных $\mathbb{F}_{p^r}$ для некоторого $r$?

[apriv]

Шафаревич, первое издание? Во втором вроде бы про это подробнее написано. Ну, давайте считать, что аффинное пространство рассматривается над алгебраическим замыканием поля $\mathbb{F}_p$; в нем есть ровно одно поле из $p^r$ элементов — оно состоит из корней многочлена $x^{p^r}-x$, они же неподвижные точки $r$-ой степени автоморфизма Фробениуса.

[xmaister]

Издание 3-е.
Т.е. берем артиновскую конструкцию $\overline{\mathbb{F}_p}=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}\mathbb{F}_{p^i}$? А можно ли опеднлять дзета-функцию для замнутых мнлжеств в аффинных пространствах над произвольными полями в которые $\overline{\mathbb{F}_p}$ вкладывается? Не понятно, дзета-функция является ирвариантом замкнутых множеств? Для каких целей ее вводят?

[apriv]

У многочлена $x^{p^r}-x$ в любом поле, содержащем $\overline{\mathbb{F}_p}$, ровно $p^r$ различных корней. А дзета-функция содержит в себе информацию о количестве точек нашей схемы над любым конечным полем характеристики $p$. Потом удивительным образом оказывается, что она рациональная, раскладывается на множители, степени которых что-то значат, и прочие гипотезы Вейля.

[xmaister]

На запрос " гипотеза Вейля" гугл выдает что-то связаное с теорией когомологий. Элементарной формулировки этих гипотез нет?

apriv в сообщении #674657 писал(а):

А дзета-функция содержит в себе информацию о количестве точек нашей схемы над любым конечным полем характеристики .

Количество точек конечного подполя основного поля, содержащего $\overline{\mathbb{F}_p}$?

[apriv]

xmaister в сообщении #675054 писал(а):

На запрос " гипотеза Вейля" гугл выдает что-то связаное с теорией когомологий. Элементарной формулировки этих гипотез нет?

Ой, а что, когомологии — это уже не элементарно? Ну, можно сказать так: рассмотрим систему полиномиальных уравнений с целыми, скажем, коэффициентами. Число решений этой системы над полем $\mathbb{F}_q^r$ обозначим через $\nu_r$ и соберем в формальный степенной ряд, называемой дзета-функцией. После некоторой подправки (взятие экспоненты и те де) эта функция оказывается рациональной, в числителе и знаменателе ее стоят какие-то многочлены, степени которых связаны с поведением нашей системы, рассмотренной над полем комплексных чисел, корни этих многочленов — алгебраические числа особого вида, и так далее.

[xmaister]

apriv в сообщении #675166 писал(а):

Ой, а что, когомологии — это уже не элементарно?

Ну конечно же нет.
Подскажите, как доказать, что коэффициенты дзета-функции всегда целые неотрицательные числа.

[xmaister]

Я в упор не понимаю, зачем нужно брать экспоненту от дзета-функции?

[apriv]

xmaister в сообщении #675307 писал(а):

Я в упор не понимаю, зачем нужно брать экспоненту от дзета-функции?

Дзета-функцией называется ряд $\exp(\sum_r\frac{\nu_r}{r}t^r)$. Если экспоненту не взять — получится не дзета-функция, поэтому нужно брать экспоненту.

[xmaister]

У меня определение другое: $Z_X(t)=\prod\limits_{\xi}\frac{1}{1-t^{\mathrm{deg}\xi}}$. Как доказать их эквивалентность?

[apriv]

Взять от Вашего выражения логарифм, продифференцировать и домножить на $t$. Ну, и заметить, что $\nu_r$ (число точек нашей схемы над $\mathbb{F}_q^r$) равно числу замкнутых точек $\xi$ таких, что $\deg\xi$ является делителем $r$

[xmaister]

apriv
С эквивалентностью разобрался, спасибо. Но почему $Z_X(t)\in\mathbb{Z}[[t]]$?

[apriv]

Это очевидно из Вашего определения.