Подкольцо поля рациональных функций

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте! Продолжаю очень медленно изучать азы.

Объясните, почему к полю применяется термин "подкольцо". Ведь поле кольцом не является в общем случае.

С уважением, Николай

[Sonic86]

Nikolai Moskvitin в сообщении #673999 писал(а):

Ведь поле кольцом не является в общем случае.

Поле всегда является кольцом по определению.

[Nikolai Moskvitin]

Просто я так понял, что их определения всё же различаются, причём кольцо получается сужением аксиоматики поля на одну аксиому (существование обратного убирается).

[Sonic86]

Nikolai Moskvitin в сообщении #674004 писал(а):

Просто я так понял, что их определения всё же различаются, причём кольцо получается сужением аксиоматики поля на одну аксиому (существование обратного убирается).

Ну да, конечно.

[Nikolai Moskvitin]

Можно ли тогда назвать поле "кольцом $K[x]$" над кольцом $A$? Никак не въеду :)

-- 20.01.2013, 08:39 --

Или может ещё так (для юмора): подкольцо $A$ принадлежит кольцу $B$, а кольцо $B$ принадлежит полю $C$, таким образом $A$ является подкольцом поля $C$? :)

[Sonic86]

Nikolai Moskvitin в сообщении #674006 писал(а):

Можно ли тогда назвать поле "кольцом K[x]" над кольцом A? Никак не въеду :)

Пишите формулы ТеХом, пожалуйста.

Произвольное поле назвать кольцом $K[x]$ нельзя.
Поле $K[x]$ назвать кольцом $K[x]$ можно по определению (проверьте).
Говорить "кольцо $K[x]$ надо кольцом $A$" по меньшей мере странно и требует пояснений (обычно говорят, например, кольцо $K[x]$ над кольцом $K$).

На 2-й вопрос отвечу, если формулы наберете ТеХом.

-- Вс янв 20, 2013 05:55:35 --

Nikolai Moskvitin в сообщении #674006 писал(а):

подкольцо $A$ принадлежит кольцу $B$, а кольцо $B$ принадлежит полю $C$, таким образом $A$ является подкольцом поля $C$? :)

Сначала надо заменить слово "принадлежит" $\in$ на слово "подмножество" $\subseteq$ (иначе получается нечто страшное). Ну а утверждение "Если кольцо $A$ является подкольцом $B$, а кольцо $B$ является подкольцом поля $C$, то $A$ является подкольцом поля $C$" верно.

[alcoholist]

Nikolai Moskvitin в сообщении #674004 писал(а):

Просто я так понял, что их определения всё же различаются, причём кольцо получается сужением аксиоматики поля на одну аксиому (существование обратного убирается).

и коммутативность с ассоциативностью, и существование единицы не входят в определение кольца

[Joker_vD]

alcoholist в сообщении #674146 писал(а):

и коммутативность с ассоциативностью, и существование единицы не входят в определение кольца

Зависит от книги и автора. Неассоциативное некоммутативное кольцо без единицы — это очень грустно. Обычно кольцом называют $(S,0,+,-,\cdot)$, где $(S,0,+,-)$ образует абелеву группу, а $(S,\cdot)$ образует полугруппу, и эти две структуры согласованы:$a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c,\;(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.