Геометрическая связь интеграла и производной

[reformator]

Как связаны интеграл и производная геометрически?

Вот эти формулы знаю $\displaystyle\int f(x)dx=F(x)+C\Rightarrow F'(x)=f(x)$

Знаю, что геом. смысл производной -- это тангенс наклона касательной (это ясно почему), а опред. интеграла -- площадь под графиком (по не понятным мне причинам). Я понимаю, что площадь под графиком $f(x)$ есть $S=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\sum\limits^{n-1}_{i=0}f(\xi_{i})\Delta x_{i}$, но почему она определяется разностью значений $F(b)-F(a)$ для такой функции$F(x)$, что $F'(x)=f(x)$ (понятно, что формула Ньютона-Лейбница, но как это можно геометрически объяснить?)

[Алексей К.]

Ну попробуйте всё нарисовать и сосчитать на простейших примерах. Для начала, $f(x)=\mathrm{const}\:(=1)$, потом что-то посложнее.
Пусть $a=0$. Возникает функция

$$F(x)=\int_0^x f(\xi)d\xi$$

(запись $F(x)=\int_0^x f(x)dx$ была бы малограмотной: $\xi$ у нас при суммировании бегает по всему отрезку, а $x$ --- конкретный конец отрезка при поиске конкретного значения $F(x)$). Эту функцию легко сосчитать, построить, прикинуть по определению определённого интеграла как предела сумм. В отличие от $F(x)+C$ в Вашем сообщении она однозначно определена, без всяких там констант.
Её производная (тангенс, предел отношения...) тоже легко оценивается.
Мне вот трудно это объяснить без рисования (мне в детстве объясняла книга Зельдовича), но в интернетах наверняка имеются разрисованные объяснялки. Попробуйте сами порисовать и подумать. Вы вроде знаете достаточно.

[reformator]

Спасибо. Ну то, что эта формула работает -- я не сомневаюсь, но ведь не ясно -- почему... вот если $f(x)=1$, то понятно, что формула работает и мы фактически считаем площадь прямоугольника, да действительно так. Но как это связано с $F'(x)=f(x)$ в общем случае - вот что не понятно.

[Алексей К.]

$F(x)$ --- площадь под графиком $f(x)$ от нуля до икс.
Чтобы её сосчитать, мы разбили эту площадь на 100 вертикальных столбиков, каждый высотой $f(x_i)$ малой шириной $\Delta x$ в основании. Значения функции $F(x_i)$ получали суммирование площадей столбиков. $F(x)$ --- полная сумма, полная площадь.
Посмотрим на $F(x+\Delta x)$, т.е. прибавим ещё один столбик высотой $f(x_{101})$ и шириной $\Delta x$.
$F(x+\Delta x)=F(x)+f(x_{101})\Delta x$. Я уберу индекс 101 --- у нас все дэльта икс страшно маленькие, и $x_{101}$, стоит ли он посредине столбика, или в начале, примерно равен тому иксу, у которого мы копаемся: $F(x+\Delta x)=F(x)+f(x)\Delta x$.

Сосчитаем производную:

$$F'(x)\approx\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}=\frac{(F(x)+f(x)\Delta x)-F(x)}{\Delta x}=\frac{f(x)\Delta x}{\Delta x}=f(x).$$

Таким оказалось свойство той функции $F(x)$, которая даёт площадь под графиком $f(x)$.
Не уверен, что хорошо ответил, но у меня пока возможности ограничены (на работе)... Спрашивайте.

[gris]

Действительно, получается, что мгновенная скорость (по абсциссе) прироста площади под графиком равна значению функции в соответствующей точке (ну, скажем, в хороших случаях). То есть у нас немножко физический смысл производной как скорости изменения площади.
А вот вопрос к Мастеру Кривых: а нельзя ли как-нибудь каксательную и тангенс притянуть к этому делу?

[reformator]

Спасибо, понятно! Хорошее объяснение!

[arseniiv]

gris в сообщении #672817 писал(а):

а нельзя ли как-нибудь каксательную и тангенс притянуть к этому делу?

Хоть я и не Алексей К., поделюсь своим видением. Наверно, $F''$, вторая производная площади даже понятнее выглядит, чем $F'''$ как вторая производная функции $F'$ — не надо смотреть, куда двигается целая бесконечная касательная, достаточно смотреть, как расположена эта касательная. Хотя с выпуклостью, с другой стороны, не свяжется. С выпуклостью свяжется третья производная от $F$ — наверно, к ней уже графическую интуицию не применить.

[gris]

Впрочем, первообразная как "огибающая поля направлений", тоже сойдёт в качестве геометрической интерпретации, если поле представлять в виде совокупности маленьких чёрточек, направленных ясно как.

Вот мне представляется такая дополнительная задача на экзамене по матану. Преподаватель рисует незамысловатый график функции в декартовой системе координат с отмеченным единичным отрезком и просит студента с помощью линейки и карандаша построить в той же системе достаточно хорошо приближённые графики производной и какой-нибудь первообразной этой функции.
Чисто геометрическая задача

[longstreet]

gris, такая задача есть у Арнольда.

[gris]

Можно, конечно, использовать линейку с делениями и разностные схемы, но я это представлял как построение циркулем и линейкой
По мотивам недавних здешних тем.