Область однолистности функции

[Fidd]

В комплекном анализе столкнулся с проблемами при решении следующей задачи:
Имеем функцию$f(z)=z^2$. Нужно определить области аналитичности и однолистности.

Мое решение:
$z=x+iy$, где $x$,$y$-действительные. Тогда несложно представить $f(z)$ в виде $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$:
$f(x,y)=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy$. То есть $u(x,y)=x^2-y^2$, $v(x,y)=2yx$.

Область аналитичности нетрудно установить используя условия Коши-Римана (http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Riemann_equations).

А вот с однолистностью возникают проблемы:

По теореме о неявной функции, в окрестности любой точки, кроме нуля, существует обратная функция. Но это не дает нам возможности сказать, что функция однолистна во всех точках, кроме нуля.
Таким образом, у меня трудности с поиском наибольшей области, где функция однолистна.
Можете помочь?

[g______d]

Ну как, берете в окрестности любой точки, кроме нуля, обратную функцию, т. е. $\sqrt{z}$. Выбираете одну из двух ветвей. Тогда вопрос про однолистность --- это вопрос о том, на какую максимальную область нужно можно продолжить эту ветвь $\sqrt{z}$. Проверьте, что $\sqrt{z}$ продолжается в точности на области, не содержащие замкнутых кривых, обходящих вокруг нуля. Поэтому максимальной областью будет комплексная плоскость, из которой выкинули несамопересекающуюся кривую, выходящую из нуля и уходящую на бесконечность.

[ex-math]

Однолистность -- это взаимная однозначность. Для $z^2$ областью однолистности будет, например, верхняя полуплоскость.

В общем, в такой области должно быть $z_1=z_2$ если $z_1^2=z_2^2$. То есть вместе с $z$ она не должна содержать $-z$.

[Fidd]

g______d в сообщении #672504 писал(а):

Ну как, берете в окрестности любой точки, кроме нуля, обратную функцию, т. е. $\sqrt{z}$. Выбираете одну из двух ветвей. Тогда вопрос про однолистность --- это вопрос о том, на какую максимальную область нужно можно продолжить эту ветвь $\sqrt{z}$. Проверьте, что $\sqrt{z}$ продолжается в точности на области, не содержащие замкнутых кривых, обходящих вокруг нуля. Поэтому максимальной областью будет комплексная плоскость, из которой выкинули несамопересекающуюся кривую, выходящую из нуля и уходящую на бесконечность.

Спасибо за отзыв, а не могли бы вы несколько более формально описать способ?

[g______d]

Fidd в сообщении #672518 писал(а):

Спасибо за отзыв, а не могли бы вы несколько более формально описать способ?

По-видимому, проще сказать как ex-math и не мучиться с продолжением корня.

Более формально с корнем --- нужна конструкция аналитического продолжения вдоль кривой, прочитайте где-нибудь про нее. Далее если есть область, то она связна, следовательно линейно связна, следовательно, можно продолжить корень в любую ее точку. Проблема может быть, если разные кривые дают разные продолжения в одну и ту же точку. Но тогда можно из них составить замкнутую кривую и убедиться, что эта кривая обходит вокруг нуля.