доказать свойство ортогональных элементов

[MissEwy]

элeменты пространство Гильберта $x,y $ ортогональны тогда и только тогда, если
$\forall \alpha , \beta \in K : || \alpha x + \beta y ||^2 = || \alpha x||^2 + || \beta y||^2$

На одну сторону (=>) элементарно, но обратно неполучается!
B конце получается
$ \alpha \overline{\beta} (x \mid y) = - \beta \overline{\alpha} (y \mid x) $

как доказать что это равенство равно только тогда, если $x$ и $y$ ортогональны, т.е. , $ (x \mid y)=0=(y \mid x)$

Deggial: дополнил заголовок до более информативного

[Dan B-Yallay]

Подсказки:
1) $(x|y)=(y|x)$ по определению скалярного произведения.

2) Для любых альфа-бета, в том числе вещественных.

[ewert]

MissEwy в сообщении #671769 писал(а):

B конце получается
$ \alpha \overline{\beta} (x \mid y) = - \beta \overline{\alpha} (y \mid x) $

Напрасно получается. Следовало оставить предыдущее: $ \alpha \overline{\beta} (x \mid y) + \beta \overline{\alpha} (y \mid x) = 0 $. Как выражается второе скалярное произведение через первое?...

[MissEwy]

ewert в сообщении #671827 писал(а):

MissEwy в сообщении #671769 писал(а):

B конце получается
$ \alpha \overline{\beta} (x \mid y) = - \beta \overline{\alpha} (y \mid x) $

Напрасно получается. Следовало оставить предыдущее: $ \alpha \overline{\beta} (x \mid y) + \beta \overline{\alpha} (y \mid x) = 0 $. Как выражается второе скалярное произведение через первое?...

$\overline{(x \mid y)} = (y \mid x)$
но если я поставлю $\alpa =a+bi, \beta=c+di, (x \mid y)=e+f i$
ой, спасибо, получилось! немного терпение и всё получилось!

[ewert]

На всякий случай -- как должно было завершаться доказательство:

$$ \alpha \overline{\beta}(x \mid y)+\beta \overline{\alpha}(y \mid x) = \alpha \overline{\beta}(x \mid y)+\overline{\alpha\overline{\beta}(x \mid y)} =2\operatorname{Re}\big(\alpha \overline{\beta}(x \mid y)\big)=0\ (\forall \alpha,\beta\in\mathbb C).$$

Отсюда $\operatorname{Re}(x \mid y)=0$ (получается при $\alpha=\beta=1$) и $\operatorname{Im}(x \mid y)=0$ (при $\alpha=1,\ \beta=i$).

[TOTAL]

$ \alpha \overline{\beta} (x \mid y) + \beta \overline{\alpha} (y \mid x) = 0 $

$\alpha =1, \;\; \beta = (x \mid y) $

[Dan B-Yallay]

(Fix)

Dan B-Yallay в сообщении #671796 писал(а):

$(x|y)=(y|x)$ по определению скалярного произведения.

$(x|y)= \overline{(y|x)}$
\overline в моем первом посте куда-то пропал.