mn и (m+1)(n+1) -- квадраты

[Ktina]

Доказать, что существует бесконечно много пар натуральных чисел $(m, n)$, таких что $m\ne n$ и при этом $mn$ и $(m+1)(n+1)$ являются квадратами целых чисел.

[nnosipov]

Искать в виде $m=a^2$, $n=b^2$, решая затем уравнение Пелля.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #671490 писал(а):

Искать в виде $m=a^2$, $n=b^2$, решая затем уравнение Пелля.

Не обязательно. Хотя, ход Ваших мыслей мне тоже нравится. Но вот представьте себе, что эту задачу задали в младших классах, в которых об уравнениях Пелля не слыхивали, зато знают ФСУ...

-- 14.01.2013, 15:05 --

(Оффтоп)

Иными словами,

Стоит статУя
В лучах заката,
А вместо Пелля
Торчит ФСУ!

[nnosipov]

Ktina в сообщении #671494 писал(а):

зато знают ФСУ...

У меня есть одно предположение, что бы это (ФСУ) могло значить. Но в любом случае ничего, кроме Пелля, я здесь не вижу. Сдаюсь.

[DjD USB]

Ktina

Вы имеете ввиду формулу сокращенного умножения?

[Ktina]

DjD USB в сообщении #671530 писал(а):

Ktina

Вы имеете ввиду формулу сокращенного умножения?

Да.

-- 14.01.2013, 16:01 --

nnosipov в сообщении #671516 писал(а):

У меня есть одно предположение, что бы это (ФСУ) могло значить. Но в любом случае ничего, кроме Пелля, я здесь не вижу. Сдаюсь.

Можно уже писать решение, или есть ещё желающие помыслить нестандартно?

[Shadow]

Ktina в сообщении #671535 писал(а):

Можно уже писать решение, или есть ещё желающие помыслить нестандартно?

Кажется мне что будет сейчас рекурентная формула решенийй уравнения....Пелля.
Давайте

[Ktina]

Shadow в сообщении #671538 писал(а):

Кажется мне что будет сейчас рекурентная формула решенийй уравнения....Пелля.
Давайте

Я напишу решение, а Вы попробуйте догадаться, через какую ФСУ я к нему пришла.

$$m=k^2-1; n=(k^2-1)\cdot 4k^2$$

-- 14.01.2013, 16:09 --

Естественно, $k>1$ и натуральное.

[nnosipov]

Вот так фокус ... Сражён. Хотя нет, не сражён. Это тоже Пелль, но другой конструкции: ищем в виде $m=a$, $n=ab^2$.

[TOTAL]

Если $n, m$ - решение, то решением будет и $(2n+1)^2-1, \;\; (2m+1)^2-1$

[Ktina]

nnosipov в сообщении #671547 писал(а):

Вот так фокус ... Сражён. Хотя нет, не сражён. Это тоже Пелль, но другой конструкции: ищем в виде $m=a$, $n=ab^2$.

Да, тоже Пелль. Но додуматься до этого решения можно, не зная, что это тоже Пелль.

-- 14.01.2013, 16:43 --

TOTAL в сообщении #671548 писал(а):

Если $n, m$ - решение, то решением будет и $(2n+1)^2-1, \;\; (2m+1)^2-1$

Гениально.

[nnosipov]

А откуда, кстати, задача?

[Ktina]

nnosipov в сообщении #671556 писал(а):

А откуда, кстати, задача?

http://math.kgsu.ru/or2003/t031012a.html
Только я решения там не нашла

-- 14.01.2013, 16:58 --

Может, кому-нибудь известно официальное решение?

-- 14.01.2013, 16:59 --

Номер задачи 7

[nnosipov]

Ktina в сообщении #671558 писал(а):

http://math.kgsu.ru/or2003/t031012a.html

Спасибо, будем знать. Хотя, по-моему, сайт в некотором запустении, шансы найти официальное решение малы. Сюжет, конечно, не нов, но конкретно эта задача мне незнакома.

[temp03]

nnosipov, красивая задача, мне тоже понравилась