Задача на теорему Руше (тфкп)

[bok]

Доказать, что уравнение $ a z^3 - z + b = e^{-z} (z+2)$, (a и b больше нуля) не имеет корней в правой полуплоскости. z -комплексное число.
я пытался сделать по принципу аргумента, выбрав в качестве контура полуокружность (чтобы потом её радиус устремлять в бесконечность), но из за экспоненты ничего не получается. мне кажется можно проще по теореме руше. нужно записать уравнение в виде $ \frac {a z^3 - z +b} {z+b} - e^{-z} = 0$ и оценить отдельно дробь и экспоненту. а потом сказать что раз у экспоненты нет корней и раз она больше дроби (вдруг) то у всей суммы нет корней. оценить у меня не получается. помогите пожалуйста

[sup]

В общем случае Ваше утверждение ошибочно. Легко привести примеры таких $a,b$, что на вещественной полуоси имеются корни уравнения. Например в случае $b<2$.

[bok]

а при $b>2 \ a>0$, как оценить дробь? экспоненту я уже оценил

[sup]

Рассмотрите случай $a=0$. После этого подумайте, что будет для "малых" $a > 0$.

[ex-math]

И что же там будет? Экспонента-то совсем маленькая, так что идея ТС явно не пройдет.

[sup]

Ну что там будет ... Корни там будут. Я с самого начала намекал, что постановка задачи крайне расплывчата. ТС так ничего и не уточнил. Исходное утверждение просто неверно. Найти достаточные условия отсутствия корней - как-то очень неопределенно. Что на самом деле надо - большой вопрос.

[ex-math]

В задачнике Волковыского и др. есть серия задач о корнях похожих уравнений в правой полуплоскости. Там предлагается посмотреть, сколько оборотов дробь намотает вокруг нуля, когда $z$ пробегает мнимую ось. Т.е. надо фактически строить график параметрически заданной функции. Для кубического многочлена, да еще с неопределенными коэффициентами, будет довольно сложно.