Найти уравнение параболы

[unstable]

Найти параболу с осью симметрии $x-y=1$, касающуюся оси Оx точке (0;0).

[ewert]

Напишите каноническое уравнение такой параболы (ну или хотя бы более-менее каноническое) -- в нём будет два параметра. И потребуйте, чтобы кривая проходила через ту точку и чтобы проходила там именно горизонтально.

[unstable]

Цитата:

Напишите каноническое уравнение такой параболы (ну или хотя бы более-менее каноническое) -- в нём будет два параметра.

Вы имеете ввиду уравнение вида $y^2=2px+b$? И не могли бы вы помочь с условием того, что она будет проходить в точке горизонтально.

[ИСН]

У параболы канонического вида та проблема, что её ось симметрии расположена не так, как надо. Кроме того, она сама нигде не проходит горизонтально. Следовательно, нужно искать не каноническое, не уравнение, не такой, или не параболы.
Напишите общее уравнение кривой второго порядка. Да.

[unstable]

А как применить данную в условии ось симметрии?

[ewert]

unstable в сообщении #670823 писал(а):

Вы имеете ввиду уравнение вида $y^2=2px+b$?

Да, но только, разумеется, относительно не старых координат, а новых. Одна из них -- это, очевидно, $x-y$ или там со сдвигом. А какой комбинации должна соответствовать альтернативная переменная, если мы хотим сохранить ортогональность осей (только ортогональность -- заботиться о длинах необходимости нет)?...

[alcoholist]

может быть поможет следующее утверждение:
уравнение

$$ (ax+by+c)^2=dx+ey+f $$

задает параболу, у которой прямая $ax+by+c=0$ -- диаметр, а $dx+ey+f=0$ -- сопряженная ему касательная

-- Сб янв 12, 2013 20:30:51 --

да... диаметр параллелен оси симметрии

(Оффтоп)

хм... не наврал ли я сдуру?

[ewert]

alcoholist в сообщении #670846 писал(а):

может быть поможет следующее утверждение:

По-моему, это какой-то перебор. Тут не нужно никаких спецутверждений, тут нужно тупо выписать напрашивающееся уравнение с двумя параметрами и не менее тупо сделать две подстановки. Ну разве что заметить ещё, что производную лучше выписывать как производную неявно заданной функции.

[bot]

Поворот + сдвиг сводит задачу к следующей:
Требуется найти параболу $y=kx^2+b$, касающуюся прямой $x+y=\sqrt2$ в точке $(\frac{\sqrt2}2; \frac{\sqrt2}2)$
После решения этой задачи двигаем и крутим обратно.
В итоге должно получиться $(x+y)^2+4y=0$

-- Вс янв 13, 2013 12:42:11 --

(Оффтоп)

Длинно, но надёжно

[alcoholist]

ewert в сообщении #670851 писал(а):

По-моему, это какой-то перебор.

Ну, можно и красиво: директриса имеет уравнение $x+y=c$, а фокус -- координаты $(t,t-1)$. Таким образом линия $(x+y-c)^2=2(x-t)^2+2(y-t+1)^2$ касается оси абсцисс в начале координат

[ewert]

Да не надо красиво, надо тупо. Если в качестве новых переменных взять $\tilde x=x-y-1$ и $\tilde y=x+y$, то условие, что прямая $\tilde x=0$ является осью симметрии, означает, что уравнение параболы имеет вид $\tilde y+k\tilde x^2=b$, т.е. $x+y+k(x-y-1)^2=b$. Подставляем начало координат, получаем $k=b$. Выписываем производную: $y'(x)=-\frac{F'_x}{F'_y}=-\frac{1+2k(x-y-1)}{1-2k(x-y-1)}$. Снова подставляем начало координат, приравниваем к нулю, получаем $1-2k=0$, вот и всё.

-- Вс янв 13, 2013 13:51:02 --

Ну или без производной. Чтобы прямая $y=0$ касалась параболы, надо, чтобы уравнение $x+k(x-1)^2=k$ имело единственное решение, и остаётся лишь приравнять к нулю дискриминант.

[unstable]

Спасибо