Декартово произведение множеств

[xmaister]

В Куратовском-Мостовском декартово произведение множеств $X\times Y$ определяется как множество всех упорядоченных пар $\langle x,y\rangle$. Потом дается определение декартово произведения $\prod\limits_{s\in S}X_s$- множество всех отображений $f:S\to\bigcup\limits_{s\in S}X_s$, т.ч. $f(s)\in X_s$ для всякого $s\in S$. А если рассмотреть например $\prod\limits_{t\in \{0,1\}}X_t$, то получится, что множество всех упорядоченных пар и множество отображений в определении декартова произведения не совпадают, т.к. $f=\langle X,G_f, Y\rangle$. Понятно, что эти множества всегда равномощны. А если рассмотреть например 2 произвольных собственных подмножества $A_0,A_1$ множеств $X_0,X_1$ соответсвенно, то множество всех упорядоченных пар $A_0\times A_1$ будет подмножеством $X_0\times X_1$ в то время как множество всех отображений $f:\{0,1\}\to A_0\cup A_1$, т.ч. $f(i)\in A_i,i=0,1$ очевидно не пересекается с множеством отображений $f:\{0,1\}\to X_0\cup X_1$, т.ч. $f(i)\in X_i,i=0,1$, т.к. упорядоченные тройки $\langle a,b,c\rangle=\langle d,e,f\rangle\iff a=d\wedge b=e\wedge c=f$. Т.е. эти 2 определения не эквивалентны? Поясните, пожалуйста, этот момент.

P.S. Надеюсь, что я понятно изложил что непонятно

[bot]

Обратите внимание на это

xmaister в сообщении #670988 писал(а):

т.ч. $f(s)\in X_s$ для всякого $s\in S$

При $|S|=2$ получается ровно то же самое.

[AGu]

Если очень хочется, чтобы $X_0\times X_1$ напрочь совпадало с $\prod_{i\in\{0,1\}}X_i$, можно было бы принять соответствующие определения: договориться считать всякую пару $\langle x,y\rangle$ соответствующей функцией $f:\{0,1\}\to\{x,y\}$, а всякую функцию $f:X\to Y$ -- не тройкой а просто подмножеством $X\times Y$ (и закрыть глаза на мелкие неприятности такого соглашения при разговорах о сюръекциях и т.п.). Тут, разумеется, возникает небольшая бяка: (1) чтобы определить $X\times Y$ как множество пар, надо сначала ввести понятие пары, (2) чтобы ввести понятие пары, надо ввести понятие функции, (3) а чтобы ввести понятие функции, надо определить $X\times Y$. Здесь тоже можно было бы выкрутиться, но... Зачем? Вполне достаточно иметь естественные биекции (или изоморфизмы), которые кое-где время от времени можно объявлять "отождествлениями". Тотальный формализм мешает обычной жизни. Он уместен только там, где он уместен. (Мне так кааца...)

[xmaister]

Т.е. можно естественным образом отождествить множество функций $\prod\limits_{t\in \{0,1\}}X_t$ и множество упорядоченных пар $X\times Y$, а при определении на этих множествах дополнительных структур указать просто естественный их изоморфизм. Мне просто удобнее считать, что $X\times Y$- множество функций.

AGu в сообщении #671005 писал(а):

Тотальный формализм мешает обычной жизни. Он уместен только там, где он уместен.

Не понял. Разве не следует хотя бы раз все проделать во всех деталях чтобы понять что к чему?

-- 13.01.2013, 12:15 --

bot в сообщении #670993 писал(а):

ри $|S|=2$ получается ровно то же самое.

Как тоже самое? Упорядоченная пара же по определению $\langle x,y\rangle=\{\{x\},\{x,y\}\}$. А там отображения, при этом в определении упорядоченной пары никак не отражена область определения $\{0,1\}$.

[AGu]

xmaister в сообщении #671008 писал(а):

Разве не следует хотя бы раз все проделать во всех деталях чтобы понять что к чему?

Следует, конечно. Но нет ничего страшного в том, что на формальном уровне, например, $X_0\times X_1$ не равно $\prod_{i\in\{0,1\}}X_i$, а на повседневном (не шибко формальном) -- равно (с точностью до "отождествления").