Коэффициент корреляции и зависимость случайных величин

[mark_sandman]

Никак не могу взять в толк, для чего нужен этот коэффициент.

Если он равен по модулю единице, то случайные величины линейно-зависимы.

Если он не равен единице и не равен нулю, то ясно, что величины зависимы нелинейно. Но более подробно ничего сказать нельзя.

Если он равен нулю, то величины могут также быть зависимыми. Почему? Это первый вопрос.

И второе, если он даёт так мало информации, почему бы не заменить его чем-нибудь более совершенным? Или я просто не до конца понял, как его использовать?

[ewert]

mark_sandman в сообщении #670563 писал(а):

Если он не равен единице и не равен нулю, то ясно, что величины зависимы нелинейно.

Это некоторая аберрация. Зависимость случайных величин, говоря формально -- это всего лишь отсутствие их независимости и не более того. Вы же явно понимаете под этим некую функциональную зависимость. Но, во-первых, даже при наличии такой зависимости корреляция вполне может быть нулевой. А в-главных, это лишь очень частный случай и на практике обычно не наблюдается. Даже утверждение о том, что, дескать, единичной корреляции отвечает линейная зависимость, с практической точки зрения верно лишь абстрактно, т.к. на практике чисто линейных зависимостей не бывает (поскольку если они есть, то известны заранее, так что и исследовать нечего). Практическую ценность представляет лишь утверждение о том, что чем ближе коэффициент корреляции к единице, тем адекватнее представление о том, что величины связаны линейно.

[profrotter]

Вот тут немного обсуждали похожий вопрос: topic52495.html

[Евгений Машеров]

Нет, если он не равен единице, это не доказывает нелинейной зависимости. Только отсутствие линейной функциональной. То есть возможны все три варианта:
1. Связь линейна, но действуют дополнительные факторы:
Доход семьи y в зависимости от зарплаты мужа x:
$y=a+bx+\varepsilon$
Здесь b - коэффициент, зависящий от ставки налога и привычки мужа заначивать, a - средний уровень поступлений из прочих источников, $\varepsilon$ - отклонения от среднего уровня.
2. Связь нелинейная функциональная, но мы её приближаем линейной (в частности, потому, что точный вид нам неизвестен или слишком сложен):
Мощность двигателя в зависимости от положения ручки газа
3. Связь нелинейная, и действуют дополнительные факторы.
Продолжительность жизни, как функция от дохода.

В первом случае коэффициент корреляции, отличный от нуля, показывает нам, какую часть дисперсии зависимой переменной объясняет наша модель, а какая приходится на неучтённые факторы (говоря более строго, квадрат коэффициента корреляции - коэффициент детерминации - равен отношению дисперсии, объясняемой моделью, к полной дисперсии). Во втором и третьем он зависит ещё и от неточности приближения нелинейной зависимости линейной моделью.

Нулевой коэффициент линейной корреляции при наличии зависимости бывает, когда в разложении зависимости в ряд линейный член близок к нулю, а квадратичный и т.п. существенны.

Применяется он столь часто оттого, что проще других, при том, что линейная зависимость оказывается хорошим приближением.