ДУ с разделяющимися переменными

[Ёж]

Задание. Решить уравнение
$x(1+y^2)dx+y(1+x^2)dy=0$.
Решение. Разделяя переменные, получаю
$\frac{x}{1+x^2}dx+\frac{y}{1+y^2}dy=0$,
$\int\frac{x}{1+x^2}dx+\int\frac{y}{1+y^2}dy=C$,
$\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+\frac{1}{2}\ln(1+y^2)=C$.
Хочу упростит полученный общий интеграл:
$\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+\frac{1}{2}\ln(1+y^2)=\frac{1}{2}\ln C$,
$(1+x^2)(1+y^2)=C$
или правильнее
$\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+\frac{1}{2}\ln(1+y^2)=\frac{1}{2}\ln |C|$,
$(1+x^2)(1+y^2)=C$
Как правильно в таких случаях, $C$ заменять на $\ln C$ или на $\ln |C|$ или же это не очень важно?

[kw_artem]

Ну вообще да модуль нужен, ведь логарифм от отрицательного не определен. А можете просто ввести эту новую константу $C$, и сказать что она больше нуля.

-- 11.01.2013, 21:39 --

Главное, что эта новая $C$ останется согласованной со старой $C$, которая принимает любые значения. (Т.к. логарифм числа от нуля до единицы -- отрицательное число)

[Ёж]

kw_artem Спасибо!

Задание 2. Решить уравнение $y'=y^2\cos x$
Решение.
$\frac{dy}{dx}=y^2\cos x$,
$\frac{dy}{y^2}=\cos xdx$,
$\int\frac{dy}{y^2}=\int\cos xdx$,
$-\frac{1}{y}=\sin x+C$,
$y=-\frac{1}{\sin x+C}$ - общее решение.

Из $y^2=0$, получаю функцию $y=0$, которая так же является решением данного уравнения.

Вопрос: функция $y=0$ является частным решением или особым?

[kw_artem]

Решение верно. А на счет функции $y=0$, Вы сами посмотрите, есть ли хотя бы одно частное решение из общего решения, пересекающее $y=0$ ?

[Ёж]

У Матвеева Н.М. Методы интегрированич ОДУ написано
"Решение, получающееся из формулы общего решения $y=\varphi(x,C)$ при частном числовом значении произвольной постоянной $C$, включая $\pm\infty$, является, очевидно, частным решением".

При $C=\infty$ из $y=-\frac{1}{\sin x+C}$ получаем $y=0$ или ошибаюсь?

[kw_artem]

Конечно, оно частное, т.к. через любую точку $(x,0)$ проходит только эта функция $y=0$

-- 11.01.2013, 22:49 --

да-да, все верно

[Ёж]

Значить, частное решение получается из общего решения при конкретном числовом значении произвольной постоянной $C$ и при $C=\pm\infty$?

[Someone]

При условии, что этому можно придать смысл путём предельного перехода при $C\to\pm\infty$, и получится при этом дифференцируемая функция, являющаяся решением нашего дифференциального уравнения.