Собственно, нас интересует распределение случайной величины

, где

(ибо чёрточка в качестве обозначения крайне неудобна). Формально эта величина есть квадрат нормы случайного вектора

, где

. Слагаемые в этой разности ортогональны друг другу. Ну так и сделаем поворот координатных осей

, в котором орт

параллелен вектору

, т.е.

, все же остальные орты -- какие угодно, лишь бы были ортонормированы между собой и ортогональны

. Если теперь

, то

(поскольку оба вектора суть ортогональные дополнения до

). И при этом вектор

центрирован по всем своим компонентам и имеет по ним те же дисперсии, что и исходные иксы (это легко проверяется по плотностям распределения). Отсюда

. И при этом

независима с остальными

; а поскольку

, будучи проекцией вектора

на

, пропорциональна тем самым

-- выборочное среднее тем самым не зависит от

и тем более от

, т.е. от выборочной дисперсии.