Все корни уравнения z sin z = 1 вещественные

[Antonkon]

Здравствуйте. Задача такова: доказать, что уравнение $z \sin z = 1$ имеет только вещественные корни.
Идея решения в следующем: разбить комплексную плоскость на верхнюю и нижнюю части, показать, что количество корней в верхней равно количеству корней в нижней, и сказать, что все корни принадлежат вещественной оси. По теореме Руше разбиваем уравнение на $f(z) = \sin z$, $g(z) = \frac 1 z$ и хотим, чтобы $| f(z)| > |g(z)|$.
Но, при выборе контура появляется проблема на мнимой оси - неравенство не выполняется. Тогда взял другие f и g:
$f(z) = z \sin z$ и $g(z) = 1$. Контур нужно брать верхнюю полуокружность (радиус стремится в бесконечность) с горизонтальной линией, стремящейся к вещественной оси и маленькой полуокржностью около нуля, которая дает выполнение неравенства $| f(z)| > |g(z)|$. Смущает то, что контур с горизонтальной прямой, которая стремится к вещественной оси, а решения должны лежать именно на оси.
Помогите либо выбрать правильный контур в первом варианте, либо разобраться со вторым.

[alcoholist]

чему равно $(\widebar{z\sin z})^*$?

[Antonkon]

Видимо я не понимаю вопроса:
по условию задачи $z \sin z = 1$, или я не знаю значения звездочки.

[ИСН]

Думаю, вопрос был не про те точки, где $z \sin z = 1$, а вообще.

[AKM]

Antonkon в сообщении #669403 писал(а):

я не знаю значения звездочки.

Такой звёздочкой в моём детстве помечали комплексное сопряжение. Как это делается сейчас --- не помню. Кажется, палкой сверху.

[Antonkon]

В таком случае $ z^* \sin z$. Синус сам себе сопряжение.
alcoholist
хочет сказать, что если $z^* \sin z = 1$ и $z \sin z = 1$ то z является чисто вещественным?

-- 09.01.2013, 23:12 --

Очевидно. Спасибо!

[Joker_vD]

Ну поделите одно на другое.

[Antonkon]

Да, я уже разобрался! Спасибо!

[ewert]

Antonkon в сообщении #669497 писал(а):

В таком случае $ z^* \sin z$.

Ну и кто дал Вам право тыкать звёздочки лишь избранным?...

[Antonkon]

ewert
я хотел сказать, что

$$(z \sin z)^* = z^* \cdot \left(\frac {e^{iz} - e^{-iz}}{2i}\right)^* =z^* \cdot \frac {(e^{iz})^* - (e^{-iz})^*} {-2i} = z^* \sin z$$

[ewert]

Ну, если так, то ладно.

[mihiv]

А все-таки мне сдается, что $(z\sin z)^*=z^*\sin z^*$.

[ex-math]

mihiv
Правильно сдается.

А ТС советую взглянуть на родственную тему

[Antonkon]

ex-math,
Благодарю.