Фазовый портрет системы диффуров

[cls]

Есть обычная линейная система диффуров
$$ \begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} $a & $b \\ $c & $d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} $x \\ $y \end{bmatrix} $$​ ​

Надо рассмотреть случай, когда собственные числа чисто мнимые и доказать дня него, что фазовым портретом является семейство концентрических эллипсов (доказал). После этого найти направления главных осей и его эксцентриситет. Выразить надо всё через собственные векторы, которые получатся в результате решения системы. (Либо через коэффициенты в матрице, которая дана, что громоздко)

Проблема кроется в том, что я пошёл в лоб, и нарвался на громоздкие вычисления. В частности: находил максимум для суммы квадратов координат, чтобы определить направление на большую полуось, и минимум для малой. Направление, конечно, нашлось, но его вид оказался нелицеприятен и на первый взгляд плохо связан с собственными векторами.

Проверка на простых примерах показала, что моё решение вроде бы правильные, но формулы слишком тяжелы. Преподаватель сказал, что направления главных осей эллипсов связаны с собственными векторам матрицы и что выразить надо через них.
Так как конечного ответа нет, то я даже не знаю, к чему стремиться.

Собственно, было бы чудесно услышать либо подсказку, как упростить поиск решения (может хитрый метод есть какой), либо название учебника, где такое разбирается. Во тех учебниках, что я видел, данная задача не разбирается. Сам ответ тоже приветствуется. Хотя бы буду знать, куда копать.

[Yu_K]

Ну начните с простенького примера -

$$ \begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -4 \\ 1/4 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y \\ x \end{bmatrix} $$​ ​

[cls]

Так частные примеры мною разобраны и прорешаны. Пример, когда на диагонали нули, или когда по диагоналям одинаковые по модулю числа не так сложен. Нужно когда в общем виде получить аналитическую зависимость.

[Yu_K]

А чем отличается общий вид решения для подобных матриц - если у них собственные числа чисто мнимые? Это как-то зависит от того что стоит на диагонали?

[ewert]

Прежде всего: если с.ч. чисто мнимые, то след матрицы равен нулю, так что у матрицы не четыре, а всего лишь три параметра. Далее, решение в любом случае будет иметь вид $\vec r(t)=\vec v_1\cos(\alpha t)+\vec v_2\sin(\alpha t)$. Векторы $\vec v_1,\vec v_2$ связаны (согласно дифуру) соотношениями $\alpha\vec v_2=A\vec v_1,\ \alpha\vec v_1=-A\vec v_2$, в остальном же произвольны. Нам нужна такая пара векторов, которые были бы ортогональны друг другу (тогда они и будут играть роль полуосей), т.е. должно выполняться $(A\vec v_1,\vec v_1)=0$. Расписываем это в явном виде, получится простенькое однородное уравнение второй степени для координат вектора $\vec v_1$. Оно будет иметь, естественно, два решения: одно будет задавать направление одной полуоси, другое -- другой. Но выписывать явно надо лишь одно из решений, а альтернативное получать как $\alpha\vec v_2=A\vec v_1$ с последующим упрощением; там несложно.