Contravariant functor Vector space -> Vector space

[sasha_vertreter]

Добрый день, я буду по-английски писать, если можно, (правильно ли я рассуждаю):

Let $\lambda$ be a contravariant functor wich assigns to each vector space V its dual vector space $V^{*}$ and to each linear transformation $f : V \to W$ its dual $f^{*}: W^{*} \to V^{*}$.

я бы хотел подробно расписать это таким образом (верно?)

let $V^{*}=\{\tau \mid \tau : V \to F\}$ and let $W^{*}=\{\varphi \mid \varphi: W\to F\}$, where $F$ is a field, let also $f^{*}(\varphi)=\varphi \circ f$, for every $\varphi \in W^{*}$, then the following diagram commutes(?):



то, что $f$ и $f^{*}$ направлены в разные стороны - показывает контрвариантность.

Спасибо

[apriv]

sasha_vertreter в сообщении #668681 писал(а):

then the following diagram commutes

Она не может коммутировать; там вообще нету диаграммы. Там через $\lambda v$ обозначается что-то, чего нет в природе. Функтор $\lambda$ сопоставляет одному пространству другое пространство; например, пространству $V$ — пространство $V^*$, а пространству $W$ — пространство $W^*$. В определении функтора не требуется коммутативность никаких диаграмм, требуется согласованность с композицией и с тождественными морфизмами — их несложно проверить в этом случае: для $f\colon V\to W$ отображение $f^*\colon W^*\to V^*$ действительно является композицией с $f$, как Вы и написали.
Еще замечание: по-хорошему, правильнее говорить о таком функторе из категории левых векторных пространств в категорию правых векторных пространств — тогда нет искушения их отождествлять.

[sasha_vertreter]

спасибо! а можно я тогда задам собственно главный свой вопрос, из-за которого я в этом во всем пытаюсь разобраться:
дан функтор $(E,U) \mapsto L(E,U)$ - где $E, U$ - векторные пространства и $L(E,U)$ векторное пространство всех линейных трансформаций, Ланг говорит, что такой функтор от двух переменных, будет контрвариантным по первой переменной и ковариантным по второй.

я попытался понять что такое функтор от двух переменных, что такое контрвариантный функтор, но никак не могу понять почему он будет контрвариантен(!) по первой переменной и чему будет сопоставляться упорядоченная пара $<f,g>$ морфизмов $f:E' \to E$, $g:U \to U'$ в $Hom(L(E,U))$ - при этом я полагаю(верно?), что $Hom(L(E,U))$ - это просто композиции линейных трансформаций $\tau_1 \circ \tau_2$, где $\tau_1 \in L(E,U)$, $\tau_2 \in L(E,U)$

?

[apriv]

Действительно, есть такой бифунктор, сопоставляющий паре пространств $(E,U)$ пространство $L(E,U)$. Паре морфизмов $(f\colon E'\to E, g\colon U\to U')$ он сопоставляет морфизм $L(E,U)\to L(E',U')$, который линейное отображение $\varphi\colon E\to U$ переводит в $g\circ\varphi\circ f\colon E'\to U'$. Из этого видно, что по первому аргументу он контравариантен, а по второму ковариантен.

[sasha_vertreter]

да! спасибо огромное!!! не знаю почему это так вдруг трудно мне было, но с явно выписанной последней композицей все стало на свои места

[alcoholist]

sasha_vertreter в сообщении #668681 писал(а):

let also $f^{*}(\varphi)=\varphi \circ f$

это не "пусть=let", а просто таки "then (by definition)"

[sasha_vertreter]

alcoholist в сообщении #668856 писал(а):

sasha_vertreter в сообщении #668681 писал(а):

let also $f^{*}(\varphi)=\varphi \circ f$

это не "пусть=let", а просто таки "then (by definition)"

ой, да-да - это имено по определению, вчера было поздно