Проективное пространство

[Mitrius_Math]

Можно ли определить проективное пространство над произвольным полем $\mathbb{FP}^n$ с помощью системы аксиом подобно тому, как определяется, например, линейное (векторное) пространство? Если это где-то описано, посоветуйте, пожалуйста, литературу (на русском языке).

[Deggial]

Mitrius_Math в сообщении #668108 писал(а):

проективное пространство над произвольным полем $\mathbb{FP}^n$

А что такое $\mathbb{FP}^n$? Имеется ввиду проективное пространство $P\mathbb{F}_q^n$ надо конечным полем Галуа $\mathbb{F}_q$?
Можете попробовать заглянуть в книгу Хастхорна Основы проективной геометрии, глава VI Проективные плоскости над телами.

-- 07.01.2013, 11:40 --

Ещё вопрос:

Mitrius_Math в сообщении #668108 писал(а):

определить проективное пространство над произвольным полем $\mathbb{FP}^n$ с помощью системы аксиом

Если я правильно понимаю, то следует делать что-то одно: либо вводить систему аксиом и смотреть, какие пространства ему удовлетворяют, либо брать пространство $L$ и проводить стандартную процедуру построения проективного пространства $PL$, далее просто брать определения объектов проективного пространства и переносить его в $PL$. Или я неправильно Вас понял?

[Mitrius_Math]

Deggial, спасибо за ответ.

Deggial в сообщении #668247 писал(а):

Имеется ввиду проективное пространство надо конечным полем Галуа ?

Нет, над произвольным полем.

Deggial в сообщении #668247 писал(а):

следует делать что-то одно: либо вводить систему аксиом и смотреть, какие пространства ему удовлетворяют

Deggial в сообщении #668247 писал(а):

либо брать пространство и проводить стандартную процедуру построения проективного пространства , далее просто брать определения объектов проективного пространства и переносить его в .

К сожалению, я не умею делать ни то, ни другое. Есть ли какая-то литература по этому вопросу? Мне сейчас нужны лишь самые общие моменты.

[Deggial]

Mitrius_Math в сообщении #668266 писал(а):

Нет, над произвольным полем.

Mitrius_Math в сообщении #668266 писал(а):

К сожалению, я не умею делать ни то, ни другое. Есть ли какая-то литература по этому вопросу? Мне сейчас нужны лишь самые общие моменты.

Построение проективного пространства из поля $F$ делается так: берем $F^n$ - оно является линейным пространством над $F$. Тогда $PF^n$ - это факторпространство по отношению коллинеарности, т.е. пространство, получаемое из $F^n$ отождествлением пропорциональных векторов (и еще иногда точку $\bar 0=(0,...,0)$ выбрасывают). Вот и всё. Где рассматривается эта процедура явно я не знаю. Обычно просто пишут саму процедуру и ее применяют - в теории групп, например, так строятся группы $\operatorname{PSL}_n(K), \operatorname{PGL}_n(K)$. Или кривую подобным образом вкладывают в проективное пространство - переходят к однородным координатам.

Аксиомы проективного пространства можно посмотреть в Хастхорне. Сразу следует иметь ввиду аксиому Дезарга (которая не во всех проективных пространствах является теоремой).

Есть книга Базылев, Дуничев, Иваницкая. Геометрия, 2-й том. Там сама проективная геометрия изложена довольно подробно. Есть книга Ефимова Высшая геометрия.

[BVR]

Всё правильно. Это называется аксиомы проективного пространства в схеме Вейля. Только, чтобы построить $n$-мерное проективное пространство надо взять $n+1$ - мерное линейное пространство, то есть $F^{n+1}$

[Mitrius_Math]

Deggial, cпасибо за разъяснение и за литературу.